Математическая энциклопедия - форма

алгебраической группы G, определенной над полем k, - алгебраич. группа G', определенная над . и изоморфная группе Gнад нек-рым расширением . ноля k. В этом случае G' наз. L/k- формой алгебраич. группы G. Если ks - сепарабельное замыкание поля . в фиксированном основном алгебраически замкнутом поле . (универсальной области), то ks/k- формы наз. просто k-формами группы G. Две L/k- формы группы наз. эквивалентными, если они изоморфны над k. Множество всех классов эквивалентных L/k- форм группы Gобозначается через E(L/k, G )(в случае L=ks через E(k, G ))(см. [5],[7],[8]).

Пример. Пусть а

и

две определенные над . подгруппы полной линейной группы GL(2), тогда G' является k-формой . (соответствующий определенный над Кизоморфизм задается формулой

Эта k-форма не эквивалентна G (если рассматривать Gкак свою собственную k-форму относительно тождественного изоморфизма G -> G). В рассмотренном примере множество Е(k, G )состоит из двух элементов, представленных указанными двумя k-формами.

Задача классификации Ф. алгебраич. групп естественно переформулируется на языке Галуа когомологий;[3, 5]. А именно, пусть L/k- расширение Галуа с группой Галуа Г L/k (снабженной топологией Крулля). Группа Г L/k естественно действует на группе AutLG всех L-автоморфизмов группы G, а также на множестве всех L-изоморфизмов группы G' в группу G (в координатах эти действия сводятся к применению автоморфизмов из Г L/k к коэффициентам рациональных функций, определяющих соответствующее отображение). Пусть -нек-рый L-изоморфизм, и -образ под действием Тогда отображение является непрерывным 1-коциклом группы Г L/k со значениями в дискретной группе AutLG. При замене j на другой L-изоморфизм указанный коцикл заменяется на когомологичный. Тем самым возникает отображение Основное утверждение о когомологич. интерпретации задачи описания Ф. группы G состоит в том, что это отображение биективно. В случае когда все автоморфизмы внутренние, G' наз. внутренней формой группы G, а в противном случае внешней.

Для связных редуктивных групп имеется глубоко развитая теория Ф. В ней устанавливаются относительные варианты структурной теории редуктивных групп над алгебраически замкнутым полем: k-корни, k-группа Вейля, разложение Брюа над . и т. п.; при этом роль максимальных торов играют максимальные k-разложимые торы, а роль борелевских подгрупп минимальные k-параболич. подгруппы [1, 2, 6, 7]. Эта теория позволяет свести вопрос о классификации Ф. к классификации анизотропных над kредуктивных групп (см. Анизотропная группа, Анизотропное ядро);вопрос о классификации последних существенно зависит от свойств поля k. Если а то описание Ф. полупростых алгебраич. групп это описание вещественных Ф. комплексных полупростых алгебраич. групп (см. Комплексификация группы Ли).

Лит.:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Xамфри Д ж., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980; [3] Серр Ж. II., Когомологий Галуа, пер. с франц., М., 1068; [4] его же, Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М., 1968; [5] Воскресенский В. Е., Алгебраические торы, М., 1977; [6] Борель А., Титc Ж., лМатематика

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985