Математическая энциклопедия - рунге - кутта метод

одношаговый метод численного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида

(1)

Основная идея Р.К. м. была предложена К. Рунге [1] и развита затем В. Кутта [2] и др. Первоначально эта идея использовалась лишь для построения явных схем Р.К. м., к-рые разыскивались в виде

(2)

где

при этом значения постоянных Ai, an, bnm, i=l, 2,...,.q; n=2, 3, . . ., q; m=1, 2, . . ., n-1, определялись из требования, чтобы погрешность равенства (2) на точном решении уравнения (1) имела возможно высокий порядок малости в сравнении с шагом t для любых уравнений вида (1).

В отличие от Адамса метода и др. многошаговых методов, Р.К. м., как и всякий одношаговый метод, не требует предварительного построения начала таблицы значений приближенного решения и дает возможность вести вычислительный процесс при естественных для уравнения (1) начальных условиях, что позволяет использовать его непосредственно и в случае неравномерных сеток. Однако поскольку в этом методе не используется информация о решении в предыдущих узлах сетки, то он, вообще говоря, оказывается локально менее экономичным, чем, напр., метод Адамса.

Наиболее широко известным (см., напр., [3]) среди Р.К. м. является метод

принадлежащий зависящему от двух свободных параметров семейству методов четвертого порядка точности вида (2) с q=4. Популярен и простейший явный Р.К. м. первого порядка точности, получающийся из (2) при q=1. Этот метод известен под названием м е т о д а Э й л е р а. При значениях q, равных 2 и 3, из (2) могут быть найдены семейства Р.К. м. второго и третьего порядка точности, зависящие от одного и двух

свободных параметров соответственно. В случае q> 4 имевшее место ранее соответствие между значением q и порядком точности метода уже нарушается. Р.К. м. вида (2) пятого иорядка точности удается построить лишь при q=6, шестого при q=7, седьмого при q=9 и т. д. В этом случае с увеличением значения qна единицу расширение множества подлежащих выбору в (2) постоянных Ai,an, bnm часто оказывается уже недостаточным, чтобы удовлетворить условиям, возникающим из требования повышения на единицу порядка точности явного Р.К. м. С целью увеличения числа выбираемых в (2) параметров можно рассмотреть, напр., следующее обобщение конструкции одношаговых методов, основанных на идее К. Рунге:

(3)

Методы вида (2), (3) в общем случае являются уже неявными, что значительно осложняет их численную реализацию: величины kn, n=1, 2, . . . , q, на каждом шаге приходится находить из системы, вообще говоря, нелинейных уравнений (3). Однако за счет достигнутого здесь значительного увеличения числа подлежащих выбору констант такие методы приобретают следующее свойство (см. [4]): для каждого значения qсуществует неявный Р.К. м. порядка точности 2q. Кроме того, при таком расширении класса Р.К. м. появляются методы, хорошо ориентированные на случай жестких дифференциальных систем.

Имеется еще одно видоизменение (см., напр., [5]) идеи К. Рунге конструирования одношаговых методов численного решения уравнений вида (1). Именно, исходя из (1) записывается равенство

Приближенное представление последнего интеграла квадратурной формулой с qузлами дает

(4)

Если выбор узлов ai и коэффициентов Ai, i=l, 2, . . . , q,рассматриваемой квадратурной формулы подчинить условиям

(5)

то погрешность приближенного равенства (4) будет величиной порядка t^{p + 1}. При система уравнений (5) разрешима и приближенное равенство (4) может быть построено. Аналогично можно записать приближенные равенства для неизвестных величин u(tj+ait), входящих в правую часть (4), при этом требования к их точности могут быть понижены на порядок, и т. д. В качестве примера так построенного одношагового метода ниже приводится (см. [6]) метод третьего порядка точности предсказывающе-исправляющего характера:

Если положить в (4) одно из значений aiравным единице, на этом пути можно строить также и неявные методы, напр. метод

второго порядка точности.

Рассмотренные выше на примере уравнений вида (1) подходы к построению численных методов могут быть распространены на обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков (см. [6], [7]), а также использованы при конструировании разностных схем в случае дифференциальных уравнений с частными производными .

Лит.:[1] R u n g е С., "Math. Ann.", 1895, Bd 46, S. 167178; И К u t t a W., "Z. Math, und Phys.", 1901, Bd 46, S. 435-53; [3] Б а х в а л о в Н. С., Численные методы, 2 изд., М., 1975; [4] В u t с h е г J. С., "Math. Сотр.", 1964, v. 18, p. 50-64; [5] Б о б к о в В. В., "Becцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук". 1967, № 4, с. 27-35; [6] К р ы л о в В. И., Б о б к о в В. В., Монастырный П. И., Вычислительные методы, т. 2, М., 1977; [7] К о л л а т ц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1953.

В. В. Бобков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985