Математическая энциклопедия - седло

тип расположения траекторий автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка:

(*)

, G область единственности, в окрестности особой точки ( равновесия положения) х0. Этот тип характеризуется следующим образом. Существует окрестность Uточки х 0 такая, что для всех траекторий системы, начинающихся в , как положительные, так и отрицательные полутраектории являются уходящими (с течением времени покидают любой компакт ). Исключение составляют лишь четыре траектории (с е п а р а т р и с ы с е д л а). Для двух из них отрицательные полутраектории являются уходящими, а положительные полутраектории примыкают к точке x0, для двух других наоборот. Первые две сепаратрисы наз. устойчивыми, две вторые неустойчивыми. Устойчивые сепаратрисы, будучи дополнены точкой х 0, образуют проходящую через х 0 гладкую кривую устойчивое многообразие седла. Неустойчивые сепаратрисы вместе с точкой х 0 образуют гладкое неустойчивое многообразие седла. С. при этом наз. и сама точка х 0.

Седло х 0 неустойчиво по Ляпунову. Его индекс Пуанкаре равен -1. Для системы (*) класса с ненулевой матрицей А=f' (х 0 )точка покоя х 0 является С. в случае, когда собственные значения l1 l2 матрицы Аудовлетворяют условию l1l,2<0 (простое С., рис. 1, где x0 = 0), но может быть С. и в тех случаях, когда или l1=l2=0. В любом из этих случаев сепаратрисы С. касаются в точке х 0. направлений, определяемых собственными векторами матрицы А.

Если система (*) линейна (f(x)-A ( х-х0), А - постоянная матрица с собственными значениями l1l2), то для нее точка х 0 является С. лишь при условии l1l2<0. Сепаратрисы седла х 0 в этом случае прямолинейны, а все остальные траектории (отличные от точки х 0). суть аффинные образы гипербол вида (рис. 2).

Термин "С." применяют и для наименования любого расположения траекторий системы (*) в окрестности U изолированной точки покоя х 0, при к-ром из к точке х 0 примыкает лишь конечное число траекторий, и каждая из них, будучи дополнена точкой x0, касается в ней определенного направления (m-сепаратрисное С.). С. наз. и нек-рые типы точек покоя автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений порядка

Лит. см. при ст. Особая точка дифференциального уравнения. А. Ф. Андреев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985