Математическая энциклопедия - шевалле группа

-линейная алгебраич. группа над нек-рым полем, связанная с полупростой комплексной алгеброй Ли. Пусть -Ли полупростая алгебра над -ее подалгебра Картана, -система корней алгебры относительно -система простых корней, -базис Шевалле алгебры его линейная оболочка над И пусть -точное представление алгебры Ли в конечномерном векторном пространстве V. Оказывается, что в . существует решетка (т. е. свободная абелева подгруппа, базис к-рой является базисом пространства V), инвариантная относительно всех операторов m-натуральное число). Если kпроизвольное поле и то определены гомоморфизмы заданные формулами

Подгруппы порождают в GL (V^k) нек-рую подгруппу Gk, к-рая и наз. группой Шевалле, связанной с алгеброй Ли представлением полем k. В случае, когда (присоединенное представление), Ш. г. были определены К. Шевалле (С. Chevalley) в 1955 (см. [1]).

Если К - алгебраически замкнутое поле, содержащее k, то Ш. г. С K есть связная полупростая линейная алгебраич. группа над К. определенная и разложимая над простым подполем Ее алгебра Ли изоморфна Группа Gk является коммутантом группы GK(k) точек группы GK, рациональных над k. Любая связная полупростая линейная алгебраич. группа над K изоморфна одной из Ш. г. Алгебраич. группы GK (и Gk как абстрактные группы) зависят лишь от решетки порожденной весами представления Если Г j совпадает с решеткой корней Г 0, то GK наз. присоединенной группой, а еели =Г 1 (решетка весов, см. Ли полупростая группа), то GK наз. универсальной, или односвяаной, группой. Если GKуниверсальна, то Gk = GK(k).

Ш. г. GK всегда совпадает со своим коммутантом. Центр группы Gk конечен. Напр., центр Zуниверсальной группы Gk изоморфен Ноm (Г 1/Г 0, k^*), а соответствующая присоединенная группа изоморфна Gk/Z и имеет тривиальный центр.

Если алгебра проста, то присоединенная Ш. г. Gk проста, за исключением следующих случаев: |k| =2, алгебра Ли типов A1, B2, G2; |k|=3, -алгебра Ли типа А 1. Другие серии простых групп можно получить, рассматривая подгруппы неподвижных точек нек-рых автоморфизмов конечного порядка Ш. г. (т. н. скрученные группы).

Если поле k конечно, то порядок универсальной группы Gk вычисляется по формуле

где q = |k|, di(i = l, . .., r) - показатели алгебры Ли т. е. степени свободных образующих алгебры многочленов на инвариантных относительно Вейля группы, число положительных корней.

Имеется развитая теория рациональных линейных представлений Ш. г. Gk над бесконечным полем k, сводящаяся к случаю алгебраически замкнутого поля, а в последнем случае совпадающая с теорией рациональных представлений полупростых алгебраич. групп. Если проста, Gk- универсальная Ш. г. над бесконечным полем . и -нетривиальное неприводимое конечномерное представление группы Gk (как абстрактной группы) над алгебраически замкнутым полем K, то, существуют такой конечный набор вложений и такой набор рациональных представлений групп что По поводу представлений Ш. г. см. также [2], [3], [5].

Лит.:[1] Шевалле К., лМатематика

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985