Математическая энциклопедия - симметрическая группа

группа всех подстановок (биекций) нек-рого множества Xс операцией суперпозиции (см. Подстановок группа). С. г. подстановок множества Xобозначается S(X). Для равномощных Xи X' группы S(X).и S (X^').подобны. В случае конечного множества X={1,2, . . ., n} С. г. обозначается Sn. Всякая абстрактная группа изоморфна подходящей подгруппе симметрич. группы S(X).нек-рого множества X(теорема Кэли).

Пусть множество Xконечно. Всякая подстановка p на Xоднозначно записывается в виде произведения независимых или взаимно простых циклов (цикловая запись подстановки); числовой вектор

z(p) =(a1, а 2, ..., а n).

где а i число циклов длины i в цикловой записи подстановки p, наз. цикловым типом подстановки p. Две подстановки p и p' сопряжены в группе Sn тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же цикловой тип. Подстановки с цикловым типом

{ п-2, 2, 0,..., 0}

наз. транспозициями; их совокупность является системой образующих группы Sn. Множество транспозиций S={(i, i+1)|i=l, . . ., n-1} является минимальной системой образующих (базой) для Sn. Вообще, множество образует базу для Sn, если граф с Xв качестве множества вершин и с парами (ik, jk) в качестве ребер является деревом[2]. Число таких баз равно n^n-2.

Знакопеременная группа А n - нормальный делитель в группе Sn, причем если , то А n - единственный нетривиальный собственный нормальный делитель, а S4 содержит еще один нетривиальный нормальный делитель четверную группу Клейна: K4={1, (1 2), (3 4), (1 3), (2 4), (1 4), (2 3)}. При группа Sn разрешима, а при неразрешима и А n - простая неабелева группа. Теорема Гёльдера: при группа Sn совершенна (см. Совершенная группа). Группа S2 коммутативна, а группа S6, обладает внешним автоморфизмом порядка 2.

Известны все максимальные интранзитивные и импримитивные подгруппы в Sn. Для всякого разбиения , максимальными интранзитивными в Sn будут все подгруппы Sm1+Sm2 и только они. Транзитивными импрмитивными максимальными подгруппами в Sn будут сплетения Sm1 с Sm2 (для всякого разложения n=m1m2) и только они. Примитивные максимальные подгруппы в Sn не описаны (1983), но известны нек-рые их бесконечные серии. Напр., группа Sn естественным образом действует на множестве всех подмножеств мощности тмножества конечной мощности n; при тем самым определяется примитивная группа подстановок множества . Она максимальна в , если ( т, п)(2, 6), (2, 8), (3, 10), (4, 12), ( т, 2т),( т,2m+1) (см. [1]). Другая серия (см. [6]) получается при рассмотрении группы Г Ln(GF(q)). полулинейных преобразований пространств G(F(q)).над конечным полем из qэлементов. Эта группа определяет примитивную группу подстановок Грассмана многообразия Gn,m(GF(q)), , к-рая максимальна в S (Gn,m(GF(q)).при .

Пусть X - бесконечное множество. Группа всех подстановок множества X, перемещающих лишь конечное число элементов из X, наз. финитной, или ограниченной симметрической, группой множества Xи обозначается SF(X), а ее подгруппа, состоящая из всех четных подстановок, наз. финитной, или ограниченной знакопеременной, группой множества Xи обозначается AF(X). Подгруппы SF(X).и АF(X).нормальные делители в S(X). Более общо, пусть a мощность множества Xи нек-рое бесконечное кардинальное число; совокупность всех подстановок множества X, перемещающих не более чем b элементов множества X, является подгруппой в S(X), обозначаемой Sb (X). Наряду с SF(X).и AF(X).группы Sb (X) - нормальные делители в S(X).для всех , и других нетривиальных нормальных делителей у S(X).нет (теорема Шрейера Улама Бэра, см. [3]).

Лит.:[1] Калужнин Л. А., Клин М. X., "Матем. сб.", 1972, т. 87, № 1, с. 91-121; [2] Оре О., Теория графов, пер. с англ., 2 изд., М., 1980; [З] Плоткин Б. И., Группы автоморфизмов алгебраических систем, М., 1966; [4] Устименко-Бакумовский В. А., "Докл. АН СССР", 1978, т. 240, № 6, с. 1305-08. См. также лит. при ст. Подстановок группа. Л. А. Калужнин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985