Математическая энциклопедия - симметрия

1) С.инволютивное ортогональное преобразование, изменяющее ориентацию; инволютивность преобразования означает, что двукратное применение его дает тождественное преобразование. Напр., отражение относительно плоскости a в пространстве (относительно прямой ана плоскости) есть С., при к-рой каждая точка Мпереходит в точку М' такую, что отрезок ММ' перпендикулярен плоскости a (прямой а) и делится ею пополам. Плоскость a (прямая а).наз. плоскостью (осью) С. (рис. 1). Любое ортогональное преобразование можно осуществить последовательным выполнением конечного числа отражений.

2) С. свойство геометрич. фигуры Ф совмещаться с собой при действии нек-рой группы Gортогональных преобразований, наз. группой симметрии Ф; таким образом, С. отражает нек-рую правильность формы фигуры, инвариантность ее при действии преобразований из G. Напр., если на плоскости фигура Ф такова, что повороты относительно какой-либо точки О на угол 360^o/n, n. целое, переводят ее в себя, то Ф обладает С. n-го порядка, а Оназ. центром С. n-го порядка (рис. 2); здесь G циклическая группа ге-го порядка. Окружность обладает С. бесконечного порядка (поскольку совмещается с собой поворотом на любой угол).

Простейшими видами пространственной С., помимо С., порожденной отражениями, являются:

а) С. относительно прямой n-го порядка; и этом случае фигура накладывается на себя вращением вокруг нек-рой прямой (оси С.) на угол 360^o/n. Напр., плоская фигура, симметричная относительно прямой АВ, имеет в пространстве эту прямую осью С. 2-го порядка (рис. 3). Куб имеет прямую А В осью С. 3-го порядка, а прямую CDосью С. 4-го порядка (рис. 4); вообще, правильные и полуправильные многогранники симметричны относительно ряда прямых. Расположение, количество и порядок осей С. играют основную роль в кристаллографии.

б) С. переноса; в этом случае фигура накладывается на себя переносом вдоль нек-рой прямой (о с и переноса) на какой-либо отрезок.

Напр., фигура с единственной осью переноса обладает бесконечным множеством плоскостей С. (поскольку любой перенос можно осуществить двумя последовательными отражениями), перпендикулярных оси переноса (рис. 5).

Фигуры, имеющие несколько осей переноса, играют важную роль при исследовании кри-сталлич. решеток.

Комбинации С., порожденные отражениями и вращениями (исчерпывающие простейшие виды С. конечных фигур), а также переносами, представляют интерес и являются предметом исследования в различных областях естествознания, искусства и т. д.

Напр., винтовая С., осуществляемая поворотом на нек-рый угол вокруг оси, дополненным переносом вдоль той же оси, наблюдается в расположении листьев у растений (рис. 6). С. широко распространена как один из приемов построения бордюров и орнаментов (плоских фигур, обладающих одной или несколькими С. переноса в сочетании с отражениями) (рис. 7, 8).

Лит.:[1] Шубников А. В., Симметрия. (Законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве), М.Л., 1940;[2] Кокстер Г. С. М., Введение в геометрию, пер. с англ., М., 1966; [3] Вейль Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968. М. И. Войцеховский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985