Математическая энциклопедия - витта вектор

элемент алгебраич. конструкции, впервые предложенной Э. Впттом в 1936 [1] в связи с описанием неразветвленных расширений полей р-адических чисел. Позже В. в. были применены при изучении алгебраических многообразий над полем положительной характеристики (см. [3]), а также в теории коммутативных алгебраических групп (см. [4], [5]) и в теории формальных групп (см. [6]). Пусть А - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Векторами Витта с компонентами в Аназ. бесконечные последовательности к-рые складываются и перемножаются по следующим правилам:

где многочлены от переменных Х 0, . . ., ХД, с целыми коэффициентами, однозначно определяемые условиями

здесь

многочлены, простое число. В частности,

В. в. с введенными выше операциями образуют кольцо, наз. кольцом векторов Витта и обозначаемое . Для любого натурального попределено также кольцо усеченных векторов Витта длины n. Элементы этого кольца являются конечными наборами с операциями сложения и умножения, приведенными выше. Канонич. отображения:

являются гомоморфизмами. Сопоставление (соответственно ) определяет ковариантный функтор из категории коммутативных колец с единицей в категорию колец. Этот функтор представим кольцом многочленов (соответственно ), на к-ром определена структура кольцевого объекта. Спектр (соответственно ) наз. схемой Витта (соответственно усеченной схемой Витта) и является кольцевой схемой [3].

Каждый элемент определяет В. в.

наз. представлением Тейхмюллера элемента а. Если совершенное поле характеристики , то является полным кольцом дискретного нормирования характеристики нуль с полем вычетов kп максимальным идеалом . При этом каждый элемент однозначно записывается в виде

где . Наоборот, каждое такое кольцо Ас полем вычетов канонически изоморфно кольцу Представление Тейхмюллера позволяет построить канонический мультипликативный гомоморфизм , расщепляющий отображение

Если простое поле из рэлементов, то есть кольцо целых р-адических чисел .

Лит.:[1] Witt E., "J. reine und angew. Math.", 1936, Bd 176, S. 176-240; [2] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Мамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраической поверхности, пер. с англ., М., 1968; [4] Серр Ж. П., Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М., 1968; [5] Demazure M., Gabriel P., Groupes algebri-ques, t. 1. P.Amst., 1970; [6] Dieudonne J., "Math. Ann.", 1957, Bd 134, S. 114-33. И. В. Долгачев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985