Математическая энциклопедия - больших чисел закон
Связанные словари
Больших чисел закон
общий принцип, в силу к-рого совместное действие случайных факторов приводит при нек-рых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая. Сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа испытаний (подмеченное сначала, по-видимому, на азартных играх) может служить первым примером действия этого принципа.
На рубеже 17 и 18 вв. Я. Бернулли [1] доказал теорему, утверждающую, что в последовательности независимых испытаний, в каждом из к-рых вероятность наступления нек-рого события Аимеет одно и то же значение верно соотношение:
при любом число появлений события в первых писпытаниях, частота появлений. Эта Бернулли теорема была распространена С. Пуассоном [2] на случай последовательности независимых испытаний, где вероятность появления события Аможет зависеть от номера испытания. Пусть эта вероятность для k-го испытания равна и пусть
Тогда Пуассона теорема утверждает, что
.
при любом Первое строгое доказательство этой теоремы было дано П. Л. Чебышевым (1846), метод к-рого полностью отличен от метода Пуассона и основан на нек-рых экстремальных соображениях; С. Пуассон выводил (2) из приближенной формулы для указанной вероятности, основанной на использовании закона Гаусса и в то время еще строго не обоснованной. У С. Пуассона впервые встречается и термин "закон больших чисел", к-рым он назвал свое обобщение теоремы Бернулли.
Естественное дальнейшее обобщение теорем Бернулли и Пуассона вознпкает, если заметить, что случайные величины можно представить в виде суммы
независимых случайных величин, где , если Апоявляется в А--м испытании, и в противном случае. При этом математич. ожидание (совпадающее со средним арифметическим математич. ожиданий ) равно рдля случая Бернулли и для случая Пуассона. Другими словами, в обоих случаях рассматривается отклонение среднего арифметического величин Х k от среднего арифметического их математич. ожиданий.
В работе П. Л. Чебышева "О средних величинах" (1867) было установлено, что для независимых случайных величин соотношение
(при любом ) верно при весьма
Вопрос-ответ:
Похожие слова
Самые популярные термины
1 | 558 | |
2 | 484 | |
3 | 482 | |
4 | 474 | |
5 | 455 | |
6 | 443 | |
7 | 439 | |
8 | 436 | |
9 | 427 | |
10 | 425 | |
11 | 424 | |
12 | 415 | |
13 | 407 | |
14 | 378 | |
15 | 378 | |
16 | 374 | |
17 | 367 | |
18 | 367 | |
19 | 366 | |
20 | 365 |