Математическая энциклопедия - диофантовы уравнения

алгебраич. уравнения или системы алгебраич. уравнений с рациональными коэффициентами, решения к-рых отыскиваются в целых или рациональных числах. Обычно предполагается, что Д. у. имеют число неизвестных, превосходящее число уравнений, в связи с чем они наз. также неопределенными уравнениями. Понятие Д. у. в современной математике часто относят также к алгебраич. уравнениям, решения к-рых отыскиваются среди целых алгебраич. чисел какого-либо алгебраич. расширения поля рациональных чисел Q, среди р-адических чисел и т. п.

Исследование Д. у. относится к области пограничной между теорией чисел и алгебраич. геометрией (см. Диофантова геометрия).

Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математич. задач. Уже в начале 2-го тысячелетия до н. э. вавилоняне умели решать системы таких уравнений с двумя неизвестными. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником для нас является "Арифметика" Диофанта (вероятно, 3 в. н. э.), содержащая различные типы уравнений и систем. В ней Диофант (по его имени название "Д. у.") предвосхищает ряд методов исследования уравнений 2-й и 3-й степеней, развившихся только в 19 в. (см. [1]). Создание древнегреческими учеными теории рациональных чисел привело к рассмотрению рациональных решений неопределенных уравнений. Эта точка зрения последовательно проводится в книге Диофанта. Хотя сочинение Диофанта содержит лишь решения конкретных Д. у., однако есть основания считать, что он владел некоторыми общими приемами.

Исследование Д. у. обычно связано с большими трудностями. Более того, можно явно указать многочлен

с целыми коэффициентами такой, что не существует алгоритма, позволяющего по любому целому хузнавать, разрешимо ли уравнение

относительно у 1, . . ., у (см. Диофантовых уравнений проблема разрешимости). Примеры таких многочленов можно выписать явно. Для них невозможно дать исчерпывающего описания решений (если принимать Чёрча тезис).

Простейшее Д. у.

где a и b целые взаимно простые числа, имеет бесконечно много решений (если х 0 и у 0решение, то числа х=х 0+bп, у=у 0- ап, где плюбое целое, тоже будут решениями). Другим примером Д. у. является

x²+y²=z².

Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и наз. пифагоровыми числами. Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам:

где ти пцелые взаимно простые числа (m>n>0). Диофант в соч. "Арифметика" занимался разысканием рациональных (не обязательно целых) решений специальных видов Д. у. Общая теория решения Д. у. 1-й степени была создана в 17 в. К. Г. Баше (С. G. Bachet); о решении систем Д. у. 1-й степени подробнее см. в статье Линейное уравнение. К началу 19 в. трудами П. Ферма (P. Fermat), Дж. Валлиса (J. Wallis), Л. Эйлера (L. Euler), Ж. Лагранжа (J. Lagrange) и К. Гаусса (С. Gauss) в основном было исследовано Д. у. вида

где а, b, с, d, e, fцелые числа, т. е. общее неоднородное уравнение 2-й степени с двумя неизвестными. С помощью цепных дробей Ж. Лагранж исследовал общее неоднородное Д. у. 2-й степени с двумя неизвестными. К. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм, являющуюся основой решения нек-рых типов

Д. у.

В исследованиях Д. у. выше 2-й степени с двумя неизвестными серьезные успехи достигнуты лишь в 20 в. А. Туэ (А. Т1ше) установил, что Д. у.

где a0, а 1, . . ., а п, сцелые, а многочлен a0tⁿ+a1t^n-1+ ...+ а n неприводим в поле рациональных чисел, не может иметь бесконечного числа целых решений. Однако метод Туэ не дает возможности вычислять ни границы решений, ни число решений. А. Бейкером (A. Baker) получены эффективные теоремы о границах решений нек-рых таких уравнений. Б. Н. Делоне создал другой метод исследования, охватывающий более узкий класс Д. у., но позволяющий определять границы числа решений. В частности, его методом полностью решается Д. у. вида

ах ³+у ³=1.

Существует много направлений теории Д. у. Так, известной задачей теории Д. у. является проблема Ферма гипотеза об отсутствии при n>3 нетривиальных решений Д. у.

Исследование целых решений уравнения (1) является естественным обобщением задачи о пифагоровых тройках. Положительное решение проблемы Ферма для n=4 получено Л. Эйлером. Благодаря этому результату проблема Ферма сводится к доказательству отсутствия ненулевых целых решений уравнения (1) при нечетном простом п. Полное исследование решений уравнения (1) не завершено (1978). Трудности, возникающие при его решении, связаны с отсутствием единственности разложения на простые множители в кольце целых алгебраич. чисел. Теория дивизоров в кольцах целых алгебраич. чисел дает возможность установить справедливость теоремы Ферма для многих классов простых показателей п.

Арифметика колец целых алгебраич. чисел используется также в ряде других задач Д. у. Так. напр., ее методами подробно исследованы уравнения вида

где N(a)норма алгебраич. числа а, и отыскиваются целые рациональные числа х л, х 2, . .., х п, удовлетворяющие уравнению (2). К уравнениям этого класса относится, в частности, Пелля уравнение х ²-dy²=l. В зависимости от значений a1, . . ., an, входящих в (2), эти уравнения делятся на два типа. К первому типу так наз. полных форм относятся те уравнения, у к-рых среди ai найдется тлинейно независимых чисел над полем рациональных чисел Q, где m=[Q(a1, . . ., an):Q] степень поля алгебраич. чисел Q(a1, . . ., an )над Q. К неполным формам относятся формы, у к-рых максимальное число линейно независимых ai меньше т. Случай полных форм проще и в основном его исследование доведено до конца. Можно, напр., для всякой полной формы описать все ее решения (см. [2], гл. 2).