Математическая энциклопедия - древовидное многообразие

гладкое нечетномерное многообразие специального вида, являющееся краем четномерного многообразия, строящегося из расслоений над сферами с помощью склеек по схеме, задаваемой нек-рым графом (деревом).

Пусть pi: i= 1,2, ...расслоение над n-сферами со слоем n-шар Dⁿ и структурной группой SOn и пусть В ⁿiзамкнутый стандартный ге-шар в n-сфере Sⁿi тогда

где слой расслоения р i. Пусть гомеоморфизм, осуществляющий склейку двух расслоений pi, pj и переводящий каждый n-шар из в некоторый шар из (склейка меняет сомножители прямого произведения ).

Результатом склейки двух расслоений р i, pj является 2n-мерное многообразие к-рое превращается в гладкое многообразие с помощью операции "сглаживания углов".

Расслоения рассматриваются как "строительные блоки", из к-рых с помощью попарных склеек результирующее гладкое многообразие строится следующим образом. Пусть Тодномерный конечный комплекс (граф). Каждой вершине графа Тсопоставляется блок выбираются в непересекающиеся re-шары Bⁿik в количестве k=l, 2, ..., равном индексу ветвления соответствующей вершины, и производится склейка по схеме, указанной графом Т. Полученное таким образом многообразие с краем обозначается (опуская зависимость от выбора расслоений E²ⁿi). через W²ⁿ(T). В случае, если Тесть дерево, то есть граф без циклов, то край dW²ⁿ(T) = M^2n-1 наз. древовидным многообразием.

Если Тдерево, то W²ⁿ(T). имеет гомотопич. тип букета n-сфер в . количестве, равным числу вершин дерева Т.

Д. м. M^2n-1=dW²ⁿ(T)является целочисленной гомологич. (2n-1)-сферой тогда и только тогда, когда определитель матрицы целочисленной билинейной (-1)ⁿ -формы пересечений, определенной на решетке re-мерных гомологии Hn(W²ⁿ,Z), равен . Если это условие выполнено, то многообразие , W²ⁿ (Т)наз. плюмбингом.

Если Тпроизвольный граф и то W²ⁿ (Т)тогда и только тогда односвязно, когда Тдерево. Если Тдерево и то dW²ⁿ(T)односвязно; если

W²ⁿплюмбинг, то край dW²ⁿ является гомотопич. сферой,

Если плюмбинг W^4kпараллелизуем, то на главной диагонали матрицы пересечений 2k-мерных циклов стоят четные числа; в этом случае сигнатура матрицы пересечений делится на 8. Плюмбинг W^ik тогда и только тогда пара, ллелизуем, когда все расслоения над S^2k, использованные при построении W^4k, являются стабильно тривиальными; напр., если все расслоения, используемые при построении W^4k, являются касательными расслоениями на диски над 2k-мернымн сферами, то плюмбинг W^4k параллелизуем. Плюмбинг W^4k+2 тогда и только тогда параллелизуем, когда каждое расслоение Е ^4k+2, используемое в качестве блоков при построении плюмбинга Wi^4k+2, принадлежит к одному из двух типов: оно либо тривиально, либо является трубчатой окрестностью диагонали в произведении то есть касательным расслоением на диски над S^2k+2. Если плюмбинг W^4k+2 параллелизуем, то его матрица пересечений приводится к симплектическому виду, состоящему из блоков расположенных вдоль главной диагонали.

Среди плюмбингов особо выделяются многообразия Милнора размерности 4k, k>1 и многообразия Кервера размерности 4k+2, Многообразия Милнора строятся следующим образом: в качестве блоков берутся несколько экземпляров трубчатой окрестности Е ^4k диагонали в произведении в качестве графа Тборется граф следующего вида:

При этих условиях многообразие W^4k(T). реализует квадратичную форму 8-го

порядка, у которой на главной диагонали стоят двойки, а сигнатура равна 8.