Математическая энциклопедия - гомеоморфизм

взаимно однозначное соответствие между двумя топологич. пространствами, при к-ром оба взаимно обратных отображения, определяемые этим соответствием, непрерывны. Эти отображения наз. гомеоморфными, или топологическими, отображениями, а также гомеоморфизмами, а о пространствах говорят, что они принадлежат одному топологическому типун наз. гомеоморфными, или топологически эквивалентными. Они являются изоморфными объектами в категории топологич. пространств и непрерывных отображений. Следует отличать Г. от уплотнения (в к-ром непрерывность обязательна только в одну сторону); однако уплотнение бикомпакта на хаусдорфово пространство является Г.

Примеры. 1) Функция устанавливает Г. между числовой прямой и интервалом ; 2) замкнутый круг гомеоморфен любому замкнутому выпуклому многоугольнику; 3) трехмерное проективное пространство гомеоморфно группе вращений пространства R³ вокруг начала и также пространству единичных касательных векторов к сфере ; 4) все бикомпактные нульмерные группы со счетной базой гомеоморфны канторову множеству; 5) бесконечномерные и сепарабельные банаховы пространства и даже пространства Фреше гомеоморфны между собой; 6) сфера и тор негомеоморфны.

Термин "Г." был введен А. Пуанкаре (Н. Poincare) в 1895 (см. [3]) в применении к (кусочно) дифференцируемым отображениям областей и подмногообразий пространства ; однако понятие было известно и ранее, напр. Ф. Клейну (F. Klein; 1872) и в рудиментарной форме А. Мёбиусу (А. элементарное сродство, 1863). В начале 20 в. под влиянием развития теории множеств и аксиоматич. метода началось изучение Г. без предположений дифференцируемости. Такая задача, в явной форме впервые поставленная Д. Гильбертом (D. Hilbert) (см. [7], с. 31), составляет содержание пятой проблемы Гильберта. Особое значение имело установление Л. Брауэром (L. Brouwer) негомеоморфности и при . Этим была восстановлена вера математиков в геометрич. интуицию, поколебленная результатами Г. Кантора (G. Kantor) о равно-мощности и и Дж. Пеано (G. Рсаnо) о возможности непрерывного отображения на , Введенные М. Фреше (М. ) и Ф. Хаусдорфом (F. Hausdorf) понятия метрического (соответственно топологического) пространства поставили на прочный фундамент понятие Г. и позволили сформулировать понятия топологического свойства (свойства, не меняющегося при Г.), топологической инвариантности и т. п. и сформулировать задачу классификации топологич. пространств тех пли иных типов с точностью до Г. В такой постановке эта задача, однако, чрезвычайно сложна уже для очень узких классов пространств. Кроме классич. случая двумерных многообразий, классификация указана лишь для нек-рых видов графов, для двумерных полиэдров, для нек-рых классов многообразий. Алгоритмически проблема классификации в общем виде вообще неразрешима, так как невозможен алгоритм для различения, напр., многообразий размерности больше 3. Поэтому обычно задача о классификации ставится в рамках более слабого отношения эквивалентности, напр, в алгебраич. топологии для гомотопического типа или, наоборот, для классификации пространств, снабженных какой-либо структурой. В этом случае вопрос о Г. остается все же очень важным. В топологии многообразий лишь в конце 60-х гг. разработаны методы, позволяющие изучать многообразия с точностью до Г. При этом изучение проводится здесь в тесной связи гомотопической, топологической, кусочно линейной и гладкой структур.

Другая проблема состоит в топологической характер и заци и отдельных пространств и классов пространств (т. е. их указания характеристических топологич. свойств, формулируемых на языке аксиом топологии). Она решена, напр., для одномерных многобразий, двумерных многообразий, канторова множества, кривой Серпинского, кривой Менгера, псевдодуги, пространства Бэра и др. Универсальный метод для топологич. характеризации пространств дают спектры. С их помощью получена теорема Александрова о Г. (см. [4]). Последовательностью измельчающихся подразделений охарактеризована сфера и вообще класс локально евклидовых пространств (см. [5]). Посредством спектров дано описание локально бикомпактных групп (см. [6]). Другой метод состоит в рассмотрении различных алгебраич. структур, связанных с отображениями. Так, бикомпактное пространство совпадает с пространством максимальных идеалов алгебры действительных функций, заданных на нем.

Многие пространства характеризуются полугруппой непрерывных отображений в себя (см. Гомеоморфизмов группа). В общей топологии дается топологич. описание многих классов топологич. пространств. Представляет интерес также характеризация пространств внутри данного класса. Напр., очень полезно описание сферы как компактного многообразия, покрытого двумя открытыми клетками. Мало разработан вопрос об алгоритмич. распознавании пространств. Напр., он не решен (к 1977) для сферы при