Математическая энциклопедия - двоякопериодическая функция

однозначная аналитич. функция f(z), имеющая только изолированные особенности на всей конечной плоскости комплексного переменного z и такая, что существуют два числа р 1, р 2, отношение к-рых не является действительным числом и к-рые являются периодами f(z), т. е. р 1, р 2 таковы, что имеет место тождество

(Если отношение р 1/р 2 действительно и рационально, то f(z) однопериодич. функция; если оно иррационально, то f(z)=const.) Все числа вида тр 1+пр 2, где т, пцелые, также являются периодами f(г). Все периоды данной Д. ф. образуют дискретную абелеву группу по сложению, наз. группой периодов (или модулем периодов), базис к-рой (базис периодов) состоит из двух примитивных периодов 2w1, 2w3,Все остальные периоды этой Д. ф. представимы в виде 2mw1+2nw3, где т, пцелые. Не существует аналитич. функций, одного комплексного переменного, кроме констант, имеющих более двух примитивных периодов.

Точки вида 2mw1+2nw3, где т, пцелые, образуют решетку периодов, разбивающую всю плоскость z на параллелограммы периодов. Точки (числа) zl, z2, для к-рых

наз. конгруэнтными (сравнимыми по модулю периодов). В конгруэнтных точках Д. ф. f(z) принимает одно и то же значение, поэтому достаточно изучить поведение f(z) в к.-л. основном параллелограмме периодов. Обычно в. качестве такового принимается множество точек

т. е. параллелограмм с вершинами

Не существует отличной от константы Д. ф., регулярной во всем основном параллелограмме периодов. Мероморфные Д. ф. наз. эллиптическими функциями. Обобщение понятия эллиптич. функций на случай функций f(z1, z2, ..., zn )от комплексных переменных носит название абелевых функций.

Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, 2 изд., М., 1968, гл. 7; [2] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968, ч. 2; [3] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1903, гл. 20; [4] Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, 2 изд., М., 1970.

Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985