Математическая энциклопедия - формальная группа

алгебраический аналог понятия локальной группы Ли. Теория Ф. г. имеет многочисленные применения в алгебраической геометрии, теории полей классов и теории кобордизмов.

Ф. г. над полем k - групповой объект в категории связных аффинных формальных схем над k(см. [1], [4], [6], [7]). Здесь связная аффинная формальная схема ковариантный функтор . из категории конечномерных коммутативных k-алгебр . в категорию множеств, изоморфный функтору HA, сопоставляющему алгебре . множество гомоморфизмов алгебр из нек-рой нётеровой коммутативной локальной k-алгебры Ас максимальным идеалом ти полем вычетов k, полной в m-адической топологии, переводящих идеал тв множество нильпотентных элементов nil (В)алгебры В. То, что Н - групповой объект означает, что на всех множествах Н(В)задана структура группы, причем для любого гомоморфизма k-алгебр соответствующее отображение является гомоморфизмом групп. Если все группы Н(В)коммутативны, то Ф. г. H наз. коммутативной. Любая связная групповая схема G над kопределяет Ф. г. При этом в качестве Аможно взять пополнение локального кольца схемы G и единице.

Если А- кольцо формальных степенных рядов k[[Х], ..., Х п]]от n переменных над k, то Ф. г. Нназ. п- мeрной Ф. г. Ли. Для связной алгебраической группы G над kФ. г. -Ф. г. Ли. Ф. г. Ли Низоморфна, как функтор в категорию множеств, функтору сопоставляющему алгебре В, n -кратное декартово произведение ее нильрадикала nil (B) на себя. Групповая структура на множествах Н(В) =nil (В)ⁿ задается формальным групповым законом-набором из пформальных степенных рядов от 2ппеременных Х 1 ..., Х n, Y1 ...,Yn:

удовлетворяющих следующим условиям:

Здесь

Zn). 0=(0, ..., 0). Групповой закон на множествах . (В)= nil (B)ⁿ задается формулами

где zi = Fi (х 1, . . ., х п. y1, ..., у п); в силу нильпотентности хи увсе члены рядов кроме конечного числа равны 0. И любой формальный групповой закон задает на nil (В)ⁿ структуры групп с помощью формул (*) и превращает функтор Dⁿ в Ф. г. Ли. Понятие формального группового закона, и тем самым понятие Ф. г. Ли, обобщается на случай произвольных коммутативных базисных колец (см. [2], [5]).. Иногда под Ф. г. понимают лишь Ф. 0 ситуация сложнее. Так, над алгебраически замкнутым полем (при р>0) существует счетное число попарно неизоморфных одномерных коммутативных Ф. г. Ли [1], в то время как все одномерные алгебры Ли изоморфны [3]. Над совершенными полями конечной характеристики коммутативные Ф. г. Ли классифицируются с помощью модулей Дьёдонне (см. [1. 6]).

Теория Ф. г. над полями обобщается на случай произвольных базисных формальных схем [7].

Лит.:[1] Манин Ю.