Математическая энциклопедия - грама определитель

определитель вида

где элементы (пред)гильбертова пространства, а -их скалярные произведения. Г. о. равен квадрату n-мерного объема параллелотопа, построенного на векторах .

Г. о. является определителем неотрицательной эрмитовой формы

откуда и вытекают его основные свойства:

1) Г. о. неотрицателен, т. е. . Равенство имеет место тогда п только тогда, когда векторы линейно зависимы. Это свойство может рассматриваться как обобщение Ноши неравенства:

В частности, Г. о. равен нулю, если какой-либо его главный минор (также являющийся Г. о.) равен нулю.

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда подпространства и ортогональны или один из определителей , равен нулю. Геометрически это неравенство означает, что объем параллелотопа не превосходит произведения объемов дополнительных граней. В частности,

где

есть расстояние от элемента а п до подпространства т. е. наилучшее квадратическое приближение элемента полиномами вида Если суть га-мерные векторы , то

Г. о. введены И. П. Грамом [1] и независимо К. А. Андреевым (см. [2]) в связи с задачами разложения функции в ортогональные ряды и наилучшего квадрати-ческого приближения функций.

Г. о. применяются при решении многих задач линейной алгебры и теории функций: исследовании линейной зависимости системы векторов или функций, ортогонализации системы функций, построение проекторов, а также при изучении свойств систем функций. См. также Грама матрица.

Г. о. являются частным случаем определителей вида

к-рые эрмитово билинейны по отношению к векторам и . Если принадлежат классу , то справедлива формула

Лит.:[1] Gram J. P., On Rsekkeudviklinger bestemte ved Hjelp of de mindste Kvadraters Methode, Kopenh., 1879; [2] Андреев К. А., Избр. работы, Харьков, 1955; [3] Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967.

Л. П. Купцов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985