Математическая энциклопедия - граничные задачи теории аналитических функций

задачи нахождения аналитической в нек-рой области функции по заданному соотношению между граничными значениями ее действительной и мнимой частей. Впервые такая задача была поставлена в 1857 Б. Риманом (см. [1]). Д. Гильберт [2] исследовал граничную задачу в следующей постановке (задача Р и манаГильберта): найти функцию аналитическую в односвязной области с контуром , непрерывную в по граничному условию

где заданные на Lдействительные непрерывные функции. Первоначально Д. Гильберт привел эту задачу к сингулярному интегральному уравнению с целью дать пример приложения такого уравнения.

Задача (1) может быть сведена к последовательному решению двух задач Дирихле. Полное исследование задачи, проведенное таким способом, имеется в [3].

Близкой к задаче (1) является задача, к к-рой пришел А. Пуанкаре [4] при разработке математич. теории приливов. Задача Пуанкаре состоит в определении гармонической в области функции по условию на границе Lэтой области:

где заданные на Lдействительные функции, sдуговая абсцисса, пнормаль к L. Под обобщенной задачей Римана Гильберта Пуанкаре (задача Р.-Г.-П.) понимается следующая линейная граничная задача: найти функцию , аналитическую в , по граничному условию

где интегро-дифференциальный оператор, определяемый формулой

в к-рой заданные на L, вообще комплексные, функции класса Н(т. е. удовлетворяющие условию Гельдера), заданная действительная функция класса Н, - заданные на L, вообще комплексные, функции вида

причем функции класса Нпо обеим переменным. В правой части (4) под подразумевается граничное значение на Lизнутри области производной j-го порядка функции .

Частным случаем задачи Р.Г.П. при , является задача Римана Гильберта; задача Пуанкаре также является частным случаем сформулированной задачи. К задаче Р.Г.П. приводятся многие важные граничные задачи, напр, граничные задачи для уравнений с частными производными эллиптич. типа с двумя независимыми переменными.

Задача Р.Г.П. была поставлена и в предположении, что и решена И. Н. Векуа [3].

В теории граничных задач важную роль играет понятие индекса задачи целого числа, определяемого формулой где приращение при однократном обходе контура в направлении, составляющем область слева.

Задача Р.Г.П. редуцируется к сингулярному интегральному уравнению вида

где искомая действительная функция класса Н, с - искомая действительная постоянная, а

функции выражаются через и

Пусть и числа линейно независимых решений соответствующего (5) однородного интегрального уравнения и союзного с ним однородного интегрального уравнения

Числа связаны с индексом х задачи Р.Г.П. равенством

Особый интерес представляет тот случай, когда задача разрешима при всякой правой части . Для того чтобы задача Р.Г.П. была разрешима при любой правой части , необходимо и достаточно, чтобы или , причем в последнем случае решение уравнения (6) должно удовлетворять условию

в обоих случаях и однородная задача имеет ровно линейно независимых решений. При задача Р.Г.П. разрешима при любой правой части тогда и только тогда, когда .

В случае задачи Римана Гильберта имеют место следующие утверждения: 1) при неоднородная задача (1) разрешима при любой правой части и 2) при эта задача разрешима тогда и только тогда, когда ,

где