Математическая энциклопедия - граничные свойства аналитических функций

свойства аналитич. функций, проявляющиеся при приближении к границе области определения.

Можно считать, что понимаемое в самом широком смысле изучение Г. с. а. ф. началось с Сохоцкого теоремы и Пикара теоремы о поведении аналнтич. функций в окрестности изолированной существенно особой точки, полученных во 2-й пол. 19 в. В лекциях П. Пенлеве (P.Painleve, 1895) впервые появляются термины того подхода к изучению Г. с. а. ф., к-рый теперь носит назв. теории предельных множеств. В диссертации П. Фату (P. Fatou, 1906) впервые систематически изучаются нек-рые Г. с. а. ф. вблизи непрерывной границы области определения. Примерно в 1-й трети 20 в. теория Г. с. а. ф. получила существенное развитие в трудах многих ученых. После середины 20 в. теория Г. с. а. ф. снова развивается очень бурно, в ней возникают новые идеи и методы, новые направления и объекты исследования. В своем развитии теория Г. с. а. ф. тесно взаимодействует с различными областями математического анализа и математики вообще, в первую очередь с такими, как теория вероятностей, теория гармонических функций, теории конформных отображений, граничных задач аналитических функций, потенциала, распределения значений, римановых поверхностей, субгармонических функций, функциональных алгебр. Через граничные задачи теория Г. с. а. ф. тесно связана с различными областями применения математики.

В связи с тем, что изучение Г. с. а. ф. связано прежде всего с геометрией границы Г области определения Dаналитич. функции одного комплексного переменного z, в теории Г. с. а. ф. выделились три основных направления.

а) Изучение поведения в окрестности изолированной граничной точки . Наибольшее значение имеет случай существенно особой точки а, к к-рому относятся Сохоцкого теорема, Пикара теорема, Жюлиа теорема, Иверсена теорема.

б) Изучение поведения в том случае, когда граница Г есть всюду разрывное множество. Большое значение здесь имела диссертация В. В. Голубева "Однозначные аналитические функции с совершенным множеством особых точек" (1916, см. [1]).

в) Изучение поведения в том случае, когда область Dограничена непрерывной замкнутой кривой Г. В частности, наиболее важен случай единичного круга.

Случаи а) и в) в нек-ром смысле крайние, случай б) промежуточный. Наибольшее внимание исследователей привлек случай в), о к-ром говорится ниже.

Пусть аналитич. функция определена в конечной односвязной области Dкомплексной плоскости z, ограниченной жордановой спрямляемой кривой Г. Основными проблемами, характерными для классич. направления изучения Г. с. а. ф., являются следующие.

1) Проблема существования граничных значений, т. е. вопрос о том, при каких условиях и в каком смысле существуют граничные значения при приближении точки z к Г.

Эта проблема, как и последующие, иначе может быть сформулирована как задача о выделении достаточно обширных классов аналитич. функций в D, имеющих в том или ином смысле граничные значения на достаточно массивных множествах точек Г.

2) Проблем а граничного представления , т. е. вопрос о том, при каких условиях и при помощи какого аналитич. аппарата может быть выражена зависимость функции от ее граничных значений на Г. Здесь, очевидно, для различных классов аналитич. функций аналитич. аппарат будет варьироваться.

3) Проблема единственности, или вопрос о том, какими свойствами должно обладать множество , чтобы две аналитич. функции того или иного класса совпадали всюду в D, если их граничные значения на Есовпадают.

Первым результатом в решении проблемы существования явилась теорема Фату (1906): если аналитич. функция ограничена в единичном круге

то почти всюду по мере Лебега на единичной окружности существуют радиальные граничные, или предельные, значения

При высказанных условиях можно показать, что почти всюду на Г существуют не только радиальные, но и угловые граничные значения, или граничные значения по всем некасательным путям. Это означает, что почти для всех точек стремится к определенному пределу , когда стремится к точке , оставаясь внутри любого фиксированного угла

раствора , меньшего , с вершиной в точке > биссектрисой к-рого служит радиус, проведенный в точку . В определенном смысле теорема Фату неулучшаема; как показал Н. Н. Лузин (1919), для любого множества меры нуль на Г существует ограниченная аналитич. функция такая, что не имеет радиальных пределов на Е.

Класс ограниченных аналитич. функций в области Dобозначается или . После результатов Фату первоочередной задачей выглядело распространение его теорем на более широкие классы функций. Различают следующие основные классы аналитич. функций в единичном круге D, связанные строгими включениями:

Класс это класс однозначных аналитических в Dи непрерывных в замкнутой области функций.

Классы для всех положительных чисел р определяются условием

Для любых имеют место строгие включения Классы впервые встречаются у Г. Харди (1915), и их часто наз. классами Харди. При в можно ввести норму по формуле (2), а в по формуле

и при этом классы наделенные, кроме того, естественной структурой векторного пространства, превращаются в банаховы пространства Xарди. При на можно только ввести метрику превращающую в полное метрическое ненормируемое пространство. Класс ограниченных аналитич. функций содержится в любом классе .

Класс мероморфных функций в единичном круге Dназ. классом функций ограниченного вида; он был введен Р. Неванлинной в 1924. Класс можно охарактеризовать как совокупность всех мероморфных функций в , пред-ставимых в виде отношения двух ограниченных регулярных функций

Все регулярные функции образуют подкласс , причем тогда и только тогда, когда выполняется условие

где при и при В классе содержатся все классы .

Классы имеют следующее обобщение. Пусть сильно выпуклая функция при , т. е. неотрицательная выпуклая неубывающая функция такая, что при . Тогда класс определяется условием

[ср. с условием (2), где ].

Основной результат по проблеме существования граничных значений для случая единичного круга Dгласит: каждая мероморфная функция ограниченного вида в Dпочти всюду на Г имеет угловые граничные значения ; эти граничные значения таковы, что функция суммируема по Лебегу на Г. Для классов , , или сюда добавляется свойство: функция или, соответственно, суммируема по Лебегу на Г. Для ограниченных функций , , вместо этого имеем Таким образом, условие (3) можно охарактеризовать как наиболее широкое достаточное условие на средний рост аналитич. функции при , обеспечивающее существование почти всюду на Г угловых граничных значений.

Было доказано, что условие (3) нельзя существенно ослабить. Напр., А. Зигмунд (A. Zygmund) доказал, что для произвольной возрастающей функции , при существует аналитическая в Dфункция такая, что

но не имеющая нигде на Г граничных значений. Также и при произвольно медленном росте максимума существуют аналитич. функции без радиальных граничных значений.

Граничное представление функций класса , характеризующее функции этого класса, имеет вид:

где -целое число, , если точка -нуль кратности , и , если -полюс кратности действительное число;

Бляшке произведение, составленное по всем нулям функции внутри Dс учетом их кратности; произведение Бляшке вида (5), составленное по всем полюсам функции в D; - сингулярная функция ограниченной вариации на с производной, равной нулю почти всюду. Последний интеграл в (4) типа Лебега Стилтьеса, первый типа Лебега.

Как показал М. М. Джрбашян (см. [10]), теория мероморфных функций ограниченного вида допускает существенное расширение. Именно, можно ввести семейство классов мероморфных функций , зависящее от непрерывного параметра причем классы характеризуются такими пара-метрич. представлениями, из к-рых при получается представление (4). При возрастании классы расширяются, и класс совпадает с классом Неванлинны N.

Для аналитич. функций в представлении (4) следует положить . Для функций или в представлении (4) имеем: есть невозрастающая функция указанного типа. См. также Коши интеграл.