Математическая энциклопедия - инъективный модуль

инъективный объект в категории модулей над кольцом R, т. е. такой R-модуль Енад ассоциативным кольцом R с единицей, что для любых R-модулей М, N, для любого мономорфизма i: и для любого гомоморфизма f: найдется такой гомоморфизм g:что диаграмма коммутативна (все R-модули предполагаются правыми). Следующие условия на R-модуль Еравносильны его инъективности: 1) для любой точной последовательности

индуцированная последовательность

точна; 2) любая точная последовательность R-модулей, имеющая вид

расщепляется, т. е. подмодуль Im a=Кеr (5 выделяется в Мпрямым слагаемом; 3) для всех R-модулей С; 4) для сякого правого идеала I кольца R любой гомоморфизм R-модулей f: может быть продолжен до гомоморфизма R-модулей g: (критерий Бэра).

В категории R-модулей "достаточно много" инъективных объектов: каждый R-модуль Мможно вложить в И. м. Более того, каждый модуль Мсодержится в своей инъективной оболочке Е(М), то есть в И. м. Е(М), каждый ненулевой подмодуль к-рого имеет ненулевое пересечение с М. Любое вложение модуля Мв И. м. Епродолжается до вложения инъективной оболочки Е(М)в Е. Каждый R-модуль Мобладает инъективной резольвентой

т. е. точной последовательностью модулей, в к-рой все модули Ei,. инъективны. Длина самой короткой инъективной резольвенты наз. инъективной размерностью модуля (см. также Гомологическая размерность).

Прямое произведение И. м. есть И. м. Инъективный модуль Еравен Е r для любого элемента не являющегося левым делителем нуля в R, т. е. И. м.делимый модуль. В частности, абелева группа является И.