Математическая энциклопедия - интегральная воронка

точки Р(t0, х0 )для дифференциального уравнения dx/dt=f(t, x)множество всех точек, лежащих на интегральных кривых, проходящих через точку Р[под уравнением можно понимать систему уравнений в векторной записи с x=(x1, ..., х п)]. Если через точку Рпроходит только одна интегральная кривая, то И. в. состоит из одной этой кривой. В случае п=1, т. е. когда хскаляр, И. в. состоит из точек (t, x), для к-рых где х*(t)и х * (t)верхнее и нижнее решения, т. е. наибольшее и наименьшее из решений, проходящих через точку Р.

Если функция f(t, x )непрерывна (или удовлетворяет условиям теоремы существования Каратеодори), то И. в.замкнутое множество. Если при этом все решения, проходящие через точку Р, существуют на отрезке то отрезок воронки (часть И. в., определяемая неравенствами ) и сечение И. в. любой плоскостью являются связными компактами.

Любую точку на границе И. в. можно соединить с точкой Ркуском интегральной кривой, лежащим на границе И. в. Если последовательность точек Р k, k=1,2, ..., сходится к точке Р, то отрезки воронок точек Р k сходятся к отрезку воронки точки Рв том смысле, что для любого e>0 они содержатся ири k>k1(e)в 8-окрестности отрезка воронки точки Р. Аналогичными свойствами обладают И. в. для дифференциальных включений

при определенных предположениях о множестве F(t, x).

Лит.:[1] Kamke E., "Acta math.", 1932, v. 58, p. 57-85; [2] Бокштейн М. Ф., "Уч. зап. МГУ, сер. матем.", 1939, в. 15, с. 3-72; [3] Рugh С. С, "J. Dif. Equat.", 1975, v. 19, № 2, p. 270 95.

А. Ф. Филиппов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985