Математическая энциклопедия - иррациональное число

число, не являющееся рациональным (т. е . целым или дробным) числом. Геометрически И. ч. выражает собой длину отрезка, несоизмеримого с отрезком единичной длины. О существовании несоизмеримых отрезков знали уже древние математики: им была известна, напр., несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа

Всякое действительное число может быть записано бесконечной десятичной дробью, при этом И. ч. и только они записываются непериодическими десятичными дробями, напр. p=3,14... . И. ч. определяют сечения (см. Дедекиндово сечение )в множестве рациональных чисел, у к-рых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа. Множество И. ч. всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется И. ч. Множество И. ч. несчетно, является множеством второй категории и имеет тип Gd.

Иррациональные алгебраические числа (в отличие от трансцендентных чисел) не допускают аппроксимаций любого порядка рациональными дробями. Точнее, для всякого иррационального алгебраического числа степени пчисла x существует такое с>0, что при любых целых ри q(q>0 )выполняется неравенство

Квадратичные иррациональности и только они изображаются периодическими цепными дробями.

Л. Д. Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985