Математическая энциклопедия - конформная связность

дифференциально-геометрическая структура на гладком многообразии М, специальный вид связности на многообразии, когда приклеенное к Мгладкое расслоенное пространство Еимеет своим типовым слоем конформное пространство С п размерности n=dim M. Структурой такого пространства Ек каждой точке присоединяется экземпляр конформного пространства ( С п) х, к-рый отождествляется (с точностью до конформных преобразований, сохраняющих х и все направления в ней) с касательным пространством Т Х (М), дополненным одной бесконечно удаленной точкой. К. с, как связность в таком Е, предусматривает сопоставление каждой гладкой кривой с началом х 0 и каждой ее точке xt конформное отображение так, что удовлетворяется нек-рое условие (см. ниже условие на gt). Пусть пространство СД отнесено к реперу, к-рый состоит из двух точек (вершин) и из нпроходящих через них попарно ортогональных гиперсфер. Такой репер интерпретируется в псевдоевклидовом пространстве ¹Rn+2 как класс эквивалентных базисов, удовлетворяющих условиям

относительно эквивалентности

Пусть Мпокрыто координатными областями и в каждой области фиксировано гладкое поле репера в ( С п) х, у к-рого вершина, определяемая вектором е 0, совпадает с х. Условие на gt следующее: при когда xt перемещается по до х 0, gt должно стремиться к тождественному отображению, причем главная часть его отклонения от последнего должна определяться относительно поля репера в нек-рой окрестности точки х 0 матрицей вида

из линейных дифференциальных форм типа

Другими словами, образ репера в точке xt при gt должен быть определен векторами

где Xкасательный вектор к Lв точке х 0 и

При преобразовании репера поля в произвольной точке хсогласно формулам сохраняющим условия (1), т. е. при переходе к произ-

вольному элементу главного расслоенного пространства П реперов в пространствах ( С п) х, формы (3) заменяются следующими 1-формами на П:

образующими также матрицу w' вида (2). 2-формы

образуют матрицу такой же структуры, как (2), и выражаются по формулам через формы являющиеся в силу (3) линейными комбинациями от а следовательно и от Для элементов матрицы w' имеют место структурные уравнения К. с. (где для простоты опущены штрихи):

Здесь правые части полубазовы, т. е. являются линейными комбинациями только от они составляют систему форм кручения-кривизны К. с. и преобразуются по законам

Равенства имеют инвариантный смысл и выделяют К. с. нулевого кручения. Пусть

тогда при

и для

Инвариантные тождества Cik=0 выделяет специальный класс так называемых (по Картану) нормальных К. с.