Математическая энциклопедия - логарифмическая функция
Связанные словари
Логарифмическая функция
функция, обратная к показательной функции. Л. ф. обозначается
ее значение у, соответствующее значению аргумента х, наз. натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно
Так как при любом действительном у, то Л. ф.
определена только при x>0. В более общем смысле
Л. ф. наз. функцию
где произвольное основание логарифмов; эта функция выражается через ln хпо формуле:
где M=1/ln a. Л. ф.одна из основных элементарных функций; ее график (см. рис.) носит название л о г а р и ф м и к и. Основные свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; напр., Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению
Л. ф. y=ln хявляется строго возрастающей функцией, причем
В каждой точке x>0 Л. ф. имеет производные всех порядков и в достаточно малой ее окрестности раскладывается в степенной ряд, т. е. является аналитической функцией.
Для справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:
Производная Л. ф.:
Многие интегралы выражаются через Л. ф.; напр.:
Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером (J. Napier, 1614).
Л. ф. на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определенной при всех значениях аргумента и обозначается ln z. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как
где arg z главное значение аргумента комплексного числа z, носит название главного значения Л. ф. Имеем
Все значения Л. ф. для отрицательных действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (L.Euler, 1749), к-рый исходил из определения
Лит.: [1] Н и к о л ь с к и й С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975: [2] М а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций. 2 изд., т. 1, М., 1967. БСЭ-3.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия
И. М. Виноградов
1977—1985
Вопрос-ответ:
Похожие слова
Самые популярные термины
1 | 558 | |
2 | 484 | |
3 | 482 | |
4 | 474 | |
5 | 455 | |
6 | 441 | |
7 | 438 | |
8 | 435 | |
9 | 426 | |
10 | 425 | |
11 | 423 | |
12 | 413 | |
13 | 407 | |
14 | 376 | |
15 | 376 | |
16 | 373 | |
17 | 367 | |
18 | 366 | |
19 | 365 | |
20 | 363 |