Математическая энциклопедия - наилучшее приближение

функции x(t)функциями u(t)из фиксированного множества Fвеличина где погрешность приближения (см. Прибли жения функций мера). Можно говорить о Н. п. в произвольном метрич. пространстве X, когда определяется расстоянием между элементами хи и, в этом случае Е( х, F).расстояние от элемента хдо множества F. Если Xлинейное нормированное пространство, то при фиксированном Н. п.

можно рассматривать как заданный на Xфункционал (функционал наилучшего приближения).

Функционал Н. п. непрерывен, каково бы ни было множество F. Если Fподпространство, то функционал Н. п. является полунормой, т. е.

и

для любого В случае, когда Fконечномерное подпространство, в Fдля любого существует элемент (элемент наилучшего приближения), на к-ром в (1) реализуется нижняя грань:

В пространстве Xсо строго выпуклой нормой элемент Н. п. единствен.

С помощью теорем двойственности Н. п. в линейном нормированном пространстве Xможет быть выражено через верхнюю грань значений нек-рых функционалов из сопряженного пространства (см., напр., [5], [8]). Если Fзамкнутое выпуклое множество в X, то для любого

в частности, когда Fподпространство, то

где множество функционалов из таких, что f(u)=0 для любого . В функциональных пространствах Си L р правые части (2) и (3) конкретизируются с учетом формы линейного функционала. В гильбертовом пространстве НН. п. элемента n -мерным подпространством реализуется оператором ортогонального проектирования на и может быть вычислено:

где базис определитель Грама, составленный из скалярных произведений Если базис ортонормирован, то

В пространстве С=С[ а, b]для величины наилучшего равномерного приближения функции , n-мерным чебышевским подпространством справедлива оценка (теорема Балле Пуссена): если для нек-рой функции существует n+1 точек , в к-рых разность принимает значения с последовательно чередующимися знаками, то

О Н. п. в пространстве L1(a, b )см. Маркова критерий. В ряде важных случаев Н. п. функций конечномерным подпространством можно оценить сверху через дифференциально-разностные характеристики (напр., модуль непрерывности) приближаемой функции или ее производных.

Понятие наилучшего равномерного приближения непрерывных функций многочленами ввел П. Л. Чебышев (1854), к-рый разработал теоретич. основы Н. п. и установил критерий многочлена Н. п. в метрике пространства С(см. Наилучшего приближения многочлен).

Наилучшее приближение класса функций верхняя грань Н. п. функций f(t)из заданного класса фиксированным множеством функций F, т. е. величина