Математическая энциклопедия - наименее благоприятное распределение

априорное распределение, максимизирующее функцию риска в статистич. задаче принятия решения.

Пусть по реализации случайной величины X, принимающей значения в выборочном пространстве (, надлежит принять решение dиз пространства решений при этом предполагается, что неизвестный параметр является случайной величиной, принимающей значения в выборочном пространстве (, ),. Пусть функция выражает потери, к-рые возникают при принятии решения d, если истинное значение параметра есть . Априорное распределение из семейства наз. наименее благоприятным для решения dв статистической задаче принятия решения при бейесовском подходе, если

где

функция риска, выражающая средние потери от принятия решения d.H. б. р.позволяет вычислить самые "тяжелые" (в среднем) потери возникающие при принятии решения d. В практич. деятельности ориентируются, как правило, не на Н. б. р., а наоборот, стараются принять такое решение, к-рое предохранило бы от максимальных потерь при изменении параметра в, что приводит к поиску минимаксного решения , минимизирующего максимальный риск, т. е.

В задаче проверки сложной статистич. гипотезы против простой альтернативы при бейесовском подходе Н. б. р. определяется с помощью редукции Вальда, к-рая заключается в следующем. Пусть по реализации случайной величины Xнадлежит проверить сложную гипотезу , согласно к-рой закон распределения Xпринадлежит семейству против простой альтернативы , согласно к-рой случайная величина Xподчиняется закону Q, и пусть

где нек-рая s-конечная мера на семейство априорных распределений на . Тогда для любого сложной гипотезе можно сопоставить простую гипотезу , согласно к-рой случайная величина Xподчиняется вероятностному закону, имеющему плотность вероятности

Согласно Неймана Пирсона лемме для проверки простой гипотезы против простой альтернативы существует наиболее мощный критерий, построенный на отношении правдоподобия. Пусть мощность этого критерия, тогда Н. б. р. есть то априорное распределение из семейства , для к-рого выполняется неравенство для всех . Н. б. р. обладает тем свойством, что плотность вероятности случайной величины Xпри гипотезе "наименее удалена" от альтернативной плотности q(x), т. е. гипотеза является самой "близкой" из семейства к конкурирующей гипотезе Н 1. См. Бейесовский подход. Лит.:.[1] Леман Э., Проверка статистических гипотез, пер. с англ., 2 изд., М., 1979; [2] 3акс Ш., Теория статистических выводов, пер. с англ., М., 1975. М. С. Никулин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985