Математическая энциклопедия - операционное исчисление

один из методов математич. анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных операторов, псевдодифференциалъных операторов и нек-рых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраич. задач. Развитие и систематич. применение О. и. началось с работ О. Хевисайда (О. Heaviside, 1892), к-рый предложил формальные правила обращения с оператором дифференцирования и решил ряд прикладных задач. Однако О. и. не получило у него математич. обоснования: оно было дано с помощью Лапласа преобразования;Я. Микусиньский (J. Mikusinski, 1953) алгебраизировал О. и., опираясь на понятие функционального кольца; наиболее общая концепция О. и. получается с помощью обобщенных функций.

Простейший вариант О. и. строится следующим образом. Пусть К - совокупность функций (с действительными или комплексными значениями), заданных в области и абсолютно интегрируемых в любом конечном интервале. Сверткой функций наз. интеграл

Относительно обычного сложения и операции свертки Кстановится кольцом без делителей нуля (теорема Титчмарша, 1924). Элементы поля частных Рэтого кольца наз. операторами и обозначаются ; невыполнимость деления в Ккак раз и есть источник нового понятия оператора, обобщающего понятие функции. Для выявления необходимого в О. и. различия между понятиями функции и ее значения в точке введены следующие обозначения:

{f(t)} функция f(t).

f(t) значение t (t).в точке t.

Примеры операторов. 1) е={1} -оператор интегрирования:

при этом

и, в частности,

это формула Коши, обобщение к-рой на случай произвольного (нецелого) показателя служит для определения дробного интегрирования.

2). (где a функция-константа) -числовой оператор; поскольку [а] [b] = [a, b], [a] {f}={af}, в то время как {a}{b}={abt}, то числовые операторы ведут себя как обычные числа. Таким образом, оператор является обобщением не только функции, но и числа; единицей кольца Кявляется [ 1 ].

3) оператор дифференцирования, обратный оператору интегрирования. Так, если функция a(t)--{a(t)}имеет производную a'(t), то

и

отсюда, напр.,

На оператор дифференцирования s можно умножать не только дифференцируемые функции, однако результат есть уже, вообще говоря, оператор.

4) алгебраическая производная, она распространяется на произвольные операторы обычным способом, при этом оказывается, что действие этого оператора на функции от sсовпадают с дифференцированием по s.

О. и. дает удобные способы решения линейных дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и с частными

производными. Напр., решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям х(0).g0, . . .,

автоматически приводится к алгебраич. уравнению и символически выражается формулой

решение в обычном виде получается разложением на элементарные дроби от переменной s с последующим обратным переходом по соответствующим таблицам к функциям.

Для применения О. и. к уравнениям с частными производными (а также к более общим псевдодифференциальным уравнениям) строятся дифференциальное и интегральное исчисления операторных функций, т. е. функций, значениями к-рых являются операторы: вводятся понятия непрерывности, производной, сходимости ряда, интеграла и т.