Математическая энциклопедия - плоская действительная алгебраическая кривая

множество точек Lдействительной аффинной плоскости, координаты к-рых удовлетворяют уравнению f(x,y)=0, (1) где f(x, у) - многочлен степени пот координат х, у;число пназ. порядком кривой L. Если многочлен f приводим, т. е. разлагается на множители f1, . .. ., fk, то определяемая уравнением (1) кривая Lназ. приводимой и является объединением кривых L1...,Lk (компонент L), задаваемых соответственно уравнениями f1 =0, .. ., fn = 0.

Если же многочлен f неприводим, то кривая Lназ. неприводимой. Две неприводимые П. д. а. к., одна из к-рых имеет порядок n, а другая порядок т, пересекаются не более чем в тп точках (теорема Безу).

Одна и та же П. д. а. к. Lможет определяться различными уравнениями. Пусть IL- совокупность многочленов, обращающихся в нуль во всех точках кривой L. Если Lнеприводима, то из того, что fg=0 на L, следует равенство нулю f или g;в этом случае фактор-кольцо K(L)=K/IL (здесь К - кольцо всех многочленов) не имеет делителей нуля и наз. кольцом многочленов на L.

С неприводимой П. д. а. к. Lассоциируется также нек-рое ноле К(L), наз. полем рациональных функций на L. Оно состоит из рациональных функций , причем qне делится на f, рассматриваемых с точностью до равенства на L и наз. равными на кривой L, заданной уравнением (1), если многочлен делится на f). Поле K(L).является полем частных кольца K(L).

Отображение плоскости в себя наз. регулярным на П. д. а. к. L, если . Кривые L к М наз. изоморфными, если существуют регулярные (соответственно на Lи на М).отображения и , обратные друг другу; при этом кольца K(L).и K(M).изоморфны. В частности, изоморфны аффинно эквивалентные кривые.

Более общим является рациональное отображение кривой Lв кривую М, осуществляемое рациональными функциями. Оно устанавливает соответствие между всеми точками кривых, кроме конечного их числа, и определяется так. Пусть f=0 и g=0 уравнения кривых Lи М соответственно, тогда рациональное отображение Fзадается такой парой рациональных функций j и y), определенных на L, что g(j, y)=0 на М. Кривые L и М наз. бирационально эквивалентными, если существуют рациональные отображения Lв Ми Мв L, обратные друг другу; при этом поля k(L).и k(M).оказываются изоморфными. Такие рациональные отображения наз. бирациональными, или кремоновыми, преобразованиями. Все кремоновы преобразования на плоскости могут быть осуществлены последовательным проведением преобразований вида

Бирациональная эквивалентность более грубое отношение, чем изоморфизм, однако классификация П. д. а. к. с этой точки зрения оказывается проще и обозримее.

Простейшим примером рационального отображения является проективное преобразование. Важную роль играет дуальное отображение неприводимой кривой L, отличной от прямой, в кривую L*, дуальную L, определяемое формулами:

(2)

где f многочлен, определяющий L. Уравнение g( и, v)=0, определяющее кривую L*, получается исключением х, у из уравнений (1), (2). Вследствие связи дуального отображения с касательным преобразованием саму кривую L* в ряде случаев можно представлять как огибающую семейства прямых, касательных к L.

Порядок L* наз. классом n* кривой L. Отношение дуальности взаимно, т. е. L** = L, и является отражением двойственности принципа проективной геометрии.

Точка хП. д. а. к. L, заданной уравнением (1), наз. особой точкой, если в ней grad f=0. Анализ особенностей является необходимым элементом исследования кривой L, однако полная классификация особенностей еще далека от завершения (1983).

Если все производные многочлена f до (r-1)-го порядка включительно в точке хравны нулю, а хотя бы одна производная r-го порядка отлична от нуля в х, то хназ. точкой кратности r и притом обыкновенной, если в ней существуют rразличных касательных. Примеры особых точек:

1) х ³ -х ²+у ²=0;(0, 0) обыкновенная двойная точка, точка самопересечения;

2) x²+x³+y²=0; (0, 0) изолированная точка;

3) x³+y²=0; (0, 0) точка заострения, возврата;

4) 2x⁴ -Зх ² у+у ²-2y³+y⁴=0; (0, 0) точка самоприкосновения.

Неособая точка хП. д. а. к. L, заданной уравнением (1), наз. точкой перегиба, если в ней

(3)

Другими словами, точки перегиба это точки пересечения кривой Lи кривой Н, задаваемой уравнением (3) и называемой гессианой кривой L. Точкам перегиба кривой Lсоответствуют на дуальной кривой L* точки возврата.

Для всякой П. д. а. к. имеет место соотношение (Ф. Клейн, F. Klein, 1876):

где п - порядок L, п* - класс L, r* - число точек перегиба L, d* - число изолированных двойных касательных к L(двойных точек L*), rчисло точек возврата L(точек перегиба L*), d - число двойных точек L. См. также Плюккера формулы.

Любая неприводимая плоская кривая Lбирационально эквивалентна неприводимой кривой L0, имеющей лишь обыкновенные особенности.

Род (или жанр) П. д. а. к. Lопределяется числом р, являющимся разностью между наибольшим числом двойных точек, к-рые может иметь L, и их фактич. числом. Род ри порядок пкривой Lсвязаны соотношением

где суммирование распространяется на точки кратности ri.