Математическая энциклопедия - плоский модуль

левый (или правый) модуль Рнад ассоциативным кольцом Rтакой, что функтор тензорного произведения (соответственно -) точен. Приведенное определение эквивалентно любому из следующих: 1) функтор (соответственно ); 2) модуль Рпредставим в виде

прямого (инъективного) предела спектра свободных модулей; 3) модуль характеров Р* = Нот z( Р, Q/Z).инъективен, где Q - группа рациональных чисел, а Z - группа целых чисел; 4) для любого правого (соответственно левого) идеала J кольца Rканонич. гомоморфизм

является изоморфизмом.

Проективные модули и свободные модули являются примерами П. м. Класс П. м. над кольцом целых чисел совпадает с классом абелевых групп без кручения. Все модули над кольцом Rявляются П. м. тогда и только тогда, когда Rрегулярно в смысле Неймана (см. Абсолютно плоское кольцо). Когерентное кольцо может быть определено как кольцо, над к-рым прямое произведение ПRa любого числа экземпляров кольца R является П. м. Операции локализации и пополнения по степеням идеала кольца Rприводят к П. м. над этим кольцом (см. Адическая топология). Классич. кольцо частных кольца Rявляется П. м. над R.

Лит.:[1] Картан А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Ламбек И., Кольца и модули, пер. с англ., М., 1971. В. Е. Говоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985