Математическая энциклопедия - полигармоническая функция

гипергармоническая функция, метагармоническая функция, порядка т - функция u(x)=u(xl, . . ., х n).действительных переменных, определенная в области Dевклидова пространства , имеющая непрерывные частные производные до 2m-го порядка включительно и удовлетворяющая всюду в Dполигармоническому уравнению

где D оператор Лапласа. При m=1 получаются гармонические функции, при m=2 бигармонические функции.

Каждая П. ф. есть аналитич. ция от координат xj. Нек-рые другие свойства гармонич. функций также переносятся с соответствующими изменениями на П. ф.

Для П. ф. любого порядка m>1 обобщаются представления при помощи гармонич. функций, известные для бигармонич. функций (см. [1] [5]). Напр., для П. ф. идвух переменных справедливо представление

где wk, k=0, . . ., m-1 - гармонич. функции в области D. Для того чтобы функция u(x1 x2).двух переменных была П. ф., необходимо и достаточно, чтобы она была действительной (или мнимой) частью полианалитической функции.

Основная краевая задача для П. ф. порядка m>1 состоит в следующем: найти П. ф. и=и (х).в области D, непрерывную вместе с производными до ( т-1)-го порядка включительно в замкнутой области = и удовлетворяющую на границе Сусловиям:

(*)

где ди/дп - производная по нормали к С, a f0(y), . . ., fm-1(y) - заданные достаточно гладкие функции на достаточно гладкой границе С. Многие исследования посвящены решению задачи (*) в шаре пространства Rⁿ (см. [1], [6]). Для решения задачи (*) в случае произвольной области применялся метод интегральных уравнений, а также различные вариационные методы (см. [1], [6]).

Лит.:[1] Векуа И. Н., Новые методы решения эллиптических уравнений, М.Л., 1948; [2] Привалов И. И., Пчелин Б. М., "Матем. сб.", 1937, т. 2, в. 4, с. 745-58; [3] Niсо1еsсо М., Les fonctions polyharmoniques, P., 1936; [4] его же, "Disq. Math. Phys.", 1940, v. 1, p. 43-56; [5] Тоlоtti C., "Giorn. Math. Batlaglini", 1947, v. 1, p. 61-117; [6] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985