Математическая энциклопедия - полупрямое произведение

группы Ана группу В - группа G=AB, являющаяся произведением своих подгрупп А и В, причем Внормальца в G, и ={1}. Если также и Анормальна в G, то П. п. превращается в прямое произведение. П. п. по группам Аи В строится неоднозначно. Для построения П. п. нужно еще знать, какие автоморфизмы на группе Ввызывают сопряжения элементами из А . Точнее, если G=AB - П. п., то каждому элементу соответствует автоморфизм , являющийся сопряжением элементом а:

При этом соответствие есть гомоморфизм А Aut В. Обратно, если Аи В - произвольные группы, то для любого гомоморфизма существует единственное П. п. группы Ана группу Втакое, что aa=j(а) для любого . П. п. является частным случаем расширения группы Вс помощью группы А, такое расширение наз. расщепляющимся.

Лит.:[1] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 19(57.

А. Л. Шмелькин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985