Математическая энциклопедия - поливектор

р- вектор, векторного пространства V - элемент р-й внешней степени L^PV пространства Vнад полем k(см. Внешняя алгебра). p -вектор может пониматься как кососимметризованный рраз контравариантный тензор на V. Любая линейно независимая система векторов х 1, . . ., х р из Vопределяет ненулевой р-вектор такие П. наз. разложимыми, или простыми (часто просто П.). При этом линейно независимые системы х 1, . . ., х р и y1 . . ., у р порождают одно и то же подпространство в Vв том и только в том случае, когда , где . Для любого ненулевого поливектора его аннулятор есть подпространство размерности , причем поливектор tразложим тогда и только тогда, когда dim Ann t=p. Разложимые р- векторы n-мерного пространства Vобразуют коническое алгебраич. многообразие в L^pV;. соответствующее проективное алгебраич. многообразие есть Грассмана многообразие. Любой ненулевой n-вектор или ( п-1)-вектор в n-мерном пространстве Vразложим; бивектор tразложим тогда и только тогда, когда

Если v1, . . ., vn - базис пространства V и х i , то координатами поливектора в базисе пространства L^PV являются миноры

, матрицы . В частности, при р=п

Если фиксировать ненулевой n-вектор , то возникает двойственность между р-векторамй и ( п- р)-векторами, т. е. естественный изоморфизм

такой, что для всех и

Пусть k=R и в Vзадано скалярное произведение, тогда в L^PV индуцируется скалярное произведение, обладающее следующим свойством: для любого ортонормированного базиса v1 . . ., vn в V базис в L^PV также ортонормирован. Скалярный квадрат

разложимого поливектора совпадает с квадратом объема параллелепипеда в V, натянутого на векторы х 1, . . ., xp. Если фиксировать в n-мерном евклидовом пространстве Vориентацию (что равносильно выбору n-вектора w, для к-рого (w, w)=1), то указанная выше двойственность приводит к естественному изоморфизму такому, что для всех . В частности, ( п-1)-вектору соответствует вектор , наз. векторным произведением векторов xt, . .., xn-1.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [2] Кострикин А. И., Манин Ю. И., Линейная алгебра и геометрия, М., 1980; [3] Постников М. М.; Линейная алгебра и дифференциальная геометрия, М., 1979.

А. Л. Онищик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985