Математическая энциклопедия - римана функция

1) P. ф. в т е о р и и т р и г о н о м е т р и ч е с к и х р я д о в функция, введенная Б. Риманом (В. Riemann, 1851) (см. [1]) для изучения вопроса о представимости функции тригонометрич. рядом. Пусть дан ряд

(*)

с ограниченными последовательностями Ф у н к ц и е й Р и м а н а для этого ряда наз. функция F(x), полученная почленным двукратным интегрированием данного ряда:

Т е о р е м ы Р и м а н а. 1) Пусть ряд (*) сходится в точке х 0 к числу S. Тогда производная Шварца D2F(x0) = S.2) Пусть при . Тогда в любой точке х

причем сходимость на любом промежутке равномерная, то есть F(х) - равномерно гладкая функция.

Если ряд (*) сходится на [0, 2p] к f(x)и , то D2F(x)=f(x)на [0, 2p] и

Пусть при и пусть

конечны в точке х,a

Тогда нижняя и верхняя производные Шварца и принадлежат , где m нек-рая абсолютная постоянная (л е м м а Дюбуа Реймона).

Лит.:[1] Р и м а н Б., Соч., пер. с нем., М.-Л., 1948; [2] Б а р и Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961.

А. А. Конюшков.

2)Р.