Математическая энциклопедия - риманова связность

аффинная связность на римановом пространстве М, относительно к-рой метрич. тензор пространства gij является ковариантно постоянным. Если аффинная связность на Мзадана с помощью матрицы локальных форм связности

. (1)

и метрич. формой на Мявляется , то последнее условие выражается в виде

(2)

Оно может быть выражено еще следующим образом: при параллельном перенесении вдоль любой кривой многообразия Мскалярное произведение произвольных двух векторов сохраняет свое значение, т. е. для любых векторных полей X, Y, Z на Мсправедливо равенство

где векторное поле, называемое ковариантной производной поля Xотносительно поля Zи определяемое формулой

Если на Мперейти к локальному полю ортонормированных реперов, то (если ограничиться случаем положительно определенной ds²) и условие (2) принимает вид

т. е. матрица w, составленная из форм (1), принимает значения в алгебре Ли группы движений евклидова пространства Е n размерности n=dim М. Поэтому Р. с. может быть интерпретирована как связность в расслоенном пространстве ортонормированных реперов в касательных к Мевклидовых пространствах. Голономии группа Р. с. есть нек-рая подгруппа группы движений пространства Е n;римановой связностью для нек-рой римановой метрики на Мявляется каждая аффинная связность, группа голономии к-рой группа движений или нек-рая ее подгруппа.

Если в (1) wⁱ dх ⁱ (то есть Мотнесено к полю натуральных реперов локальной координатной системы), то

и

где

т. н. символ Кристоффеля и тензор кручения Р.. с. Существует одна и только одна Р. с. без кручения (т. е. такая, что ), к-рая определяется формами и наз. Леви-Чивита связностью.

Лит.:[1] Г р о м о л Д., К л и н г е н б е р г В., М е й е р В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [2] Лихнерович А., Теория связностей в целом и группы голономии, пер. с франц., М., 1960. Ю. Г. Лумисте.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985