Математическая энциклопедия - сепаратриса

термин качественной теории дифференциальных уравнений. 1) С. в первоначальном смысле слова траектория {Stp} потока {St}на плоскости, стремящаяся (при или при ) к нек-рому равновесия положению р0, причем сколь угодно близко к ней имеются траектории, к-рые вначале приближаются к р 0, как бы "идя вдоль траектории {Stp}", а затем отходят от него на нек-рое конечное расстояние. Формально последнее означает существование таких окрестности Uточки р 0, последовательности точек и последовательностей чисел sn, tn, что (соответственно ),

Основной пример С. невырожденного (или простого) седла. Для последнего под С. может пониматься также его устойчивое (соответственно неустойчивое) многообразие, т. е. (в данном случае) линия, включающая седло и обе траектории, стремящиеся к нему при (соответственно при ).

Название "С." связано с наблюдением, что С. наряду с замкнутыми траекториями делят фазовую плоскость на области с одинаковым поведением траекторий. Это наблюдение может быть строго формализовано (см. [1], [3]). С. могут входить в состав предельных множеств траекторий. Так, траектория может навиваться на "петлю С." замкнутую кривую, образованную траекторией, стремящейся к одному и тому же седлу как при , так и при , или на "сепаратрисный контур (цикл)" замкнутую кривую, состоящую из нескольких С., соединяющих седла. При малом возмущении из петли С. может возникнуть предельный цикл (это один из основных типов бифуркаций для потоков на плоскости; см. [2], [3]).

2) В многомерном случае под С. (или сепаратрисными многообразиями) чаще всего понимают устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболич. положения равновесия или периодич. траектории.

Имеются попытки выделить под названием "С." класс траекторий, входящих в множества, которые в некотором смысле "разделяют" траектории с различным поведением. Непосредственное обобщение случая плоскости имело бы ограниченную применимость, поскольку в многомерном случае фазовое пространство, вообще говоря, не разбивается на области, заполненные траекториями с одинаковыми предельными множествами (тогда как на плоскости такая ситуация "типична"). Предложенные формулировки являются довольно сложными (см. [4]), и не приходится ожидать полного описания различных типов С. и составленных из них множеств.

Лит.:[1] А н д р о н о в А. А., Л е о н т о в и ч Е. А., Г о р д о н И. И., М а й е р А. Г., Качественная теория динамических систем второго порядка, М., 1966; [2] и х ж е, Теория бифуркаций динамических систем на плоскости, М., 1967; [3] Б а у т и н Н. Н., Л е о н т о в и ч Е. А., Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости, М. 1976; [4] Н а r t z m a n С. S., "Aequationes math.", 1980, v. 20, № 1, p. 59 -72. Д. В. Аносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985