Математическая энциклопедия - случайный процесс со стационарными приращениями

случайный процесс X(t)с дискретным или непрерывным временем tтакой, что статистич. характеристики его приращений нек-рого фиксированного порядка не меняются во времени (т. е. инвариантны относительно временных сдвигов ). Как и в случае стационарных случайных процессов, различают два типа С. п. со с. п., а именно С. п. со с. п. в узком смысле, для к-рого все конечномерные распределения вероятностей приращений X(t) заданного порядка в точках t1, ...,tn и точках t1+a,. . ., tn+a при любом асовпадают друг с другом, и С. п. со с. п. в широком смысле, для к-рых средние значения приращения в момент t и вторые моменты приращений в моменты t и t+s не зависят от t.

В случае процессов X(t)с дискретным временем t=0, всегда можно перейти от рассмотрения случайного процесса X(t)к рассмотрению нового случайного процесса

где биномиальные коэффициенты. Если X(t)С. п. со с. п. п-го порядка, то процесс будет уже стационарным в обычном смысле; поэтому в случае дискретного времени теории С. п. со с. п. сводится к теории более частных стационарных случайных процессов. Однако с точки зрении приложений использование понятия С. п. со с. п. и дискретным временем tчасто оказывается весьма удобным, т. к. для многих встречающихся на практике явно нестационарных временных рядов x(t), t= l, 2, .... ряды их приращений нек-рого порядка пуже можно считать реализациями стационарного случайного процесса В частности, Дж. Бокс (G. Box) и Г. Дженкинс (G. Jenkins) (см. [1]) указали, что при решении многих практич. задач реальные временные ряды часто можно считать реализациями т. н. процесса авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего, представляющего собой специальный С. п. со с. и. и дискретным временем (см. также [2] [4]).

Примерами С. п. со с. п. 1-го порядка (в узком смысле) с непрерывным временем tявляются, в частности, винеровский процесс и пуассоновский процесс;оба эти процесса принадлежат также и к более узкому классу процессов с независимыми стационарными приращениями 1-го порядка. В случае непрерывного tтеория С. п. со с. п. уже не сводится непосредственно к теории более простых стационарных процессов. Корреляционная теория (т. е. теория соответствующих процессов в широком смысле) С. п. со с. п. 1-го порядка была развита А. Н. Колмогоровым [5] (см. также [6]); подобная же теория С. п. со с. п. n-го порядка, где п - произвольное целое положительное число, рассматривалась в работах [7] [9]. Центральное место в корреляционной теории С. п. со с. п. занимает вывод спектрального разложения таких процессов и их моментов 2-го порядка. Использование понятия обобщенного случайного процесса позволяет заметно упростить теорию С. п. со с. п.; так как в рамках теории обобщенных случайных процессов любой случайный процесс X(t)имеет производные всех порядков (являющиеся, вообще говоря, обобщенными случайными процессами), то С. п. со с. п. n-ro порядка можно также определить как случайный процесс X(t), п- я производная которого Х ^(п) является (вообще говоря, обобщенным) стационарным случайным процессом (см. [9]).

Лит.:[1] Бокс Д ж., Дженкинс Г., Анализ временных рядов. Прогноз и управление, пер. с англ., в .1-2, М., 1974; [2] Nе1sоn С .R., Applied time scries analysis for managerial foreca ting, S. F., 1973; [3] Andersоn O. D., Time series analysis and forecasting. The Box-Jerikins approach, L.Boston, 1976; [4] Rоbinsоn E. A., Si1va M. Т., Digital foundations of time eries analysis: the Box Jenkins approach, S. F., 1979; [5] Колмогоров А. Н., лДокл. АН СССР

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985