Математическая энциклопедия - случайные размещения

вероятностная схема, в к-рой пчастиц случайно размещаются в Nячейках. В наиболее простой схеме равновероятных размещений каждая из пчастиц независимо от других частиц может попасть в любую фиксированную ячейку с вероятностью 1/N. Пусть число ячеек, в к-рых после такого размещения оказалось ровно rчастиц и пусть Производящая функция

имеет следующий вид:

Производящая функция (1) позволяет вычислять моменты и изучать асимптотич. свойства распределений при n, Эти асимптотич. свойства в значительной степени определяются поведением параметра среднего числа частиц на одну ячейку. Если п, и то при фиксированных rи t

где

символ Кронекера. Можно выделить пять различных типов областей, в к-рых асимптотич. поведение различны.

Центральной областью наз. такая область изменения п, для к-рой Область п, в к-рой

наз. правой r-областью. Правой промежуточной областью наз. область изменения п, в к-рой

Для левой r-областью наз. область изменений п, для к-рой

Левой промежуточной r-областью наз. область, в к-рой

Левые и левые промежуточные r-области для r=0,1 считают совпадающими с соответствующими 2-областями.

В равновероятной схеме размещения в правой r-области имеет асимптотически пуассоновское распределение. В левой r-области имеет при также в пределе пуассоновское распределение; при r=0 и r=1 предельные пуассоновские распределения имеют и В левых и правых промежуточных r-областях имеют асимптотически нормальное распределение. В центральной области доказана многомерная нормальная теорема для параметры предельного нормального распределения определяются асимптотич. формулами (2) (см. [1]).

Размещение, в к-ром пчастиц независимо друг от друга распределяются по N ячейкам и вероятность каждой из частиц попасть в j-ю ячейку равна 1, наз. полиномиальным. Для полиномиального размещения также можно ввести центральную, правые и левые области изменений п, N и al, для к-рых доказаны предельные нормальные и пуассоновские теоремы (см. [1], [3]). Пользуясь этими теоремами, можно рассчитать мощность пустых ящиков критерия. Пусть имеются независимые случайные величины . . ., каждая из к-рых имеет непрерывную функцию распределения F(х)(гипотеза H0). Конкурирующая гипотеза Н 1 соответствует другой функции распределения F1(x). Точки выбирают так, чтобы F(zk)-F(zk-1)=l/N, k=1, . . .,N. Критерий пустых ящиков строится на основе статистики равной числу полуинтервалов в к-рые не попало ни одного значения Критерии пустых ящиков определяется критич. множеством >С, при к-ром гипотеза H0 отвергается. Поскольку имеет при основной гипотезе H0 распределение, определяемое равномерным размещением, а при конкурирующей гипотезе Н 1 распределение, определяемое полиномиальным размещением, то можно воспользоваться предельными теоремами для при расчете мощности этого критерия (см. [2]).

В схеме размещения частиц комплектами предполагается, что частицы размещаются в Nячейках комплектами по тчастиц, причем частицы одного комплекта могут располагаться в ячейках только по одной, а расположения комплектов независимы. Если все расположения комплектов равновероятны, а число комплектов то при ограниченных или слабо растущих тсохраняются свойства асимптотич. нормальности и предельной пуассоновости случайных величин

Возможны различные обобщения схем размещения (см. [1]), связанные с целым рядом комбинаторных задач теории вероятностей (случайные подстановки, отображения, деревья и т. п.).

Лит.:[l] Колчин В. Ф., Севастьянов Б. Л., Чистяков В. П., Случайные размещения, М., 1976; [2] Севастьянов Б. А., лТруды ин-та прикладной математики Тбилисского ун-та

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985