Математическая энциклопедия - суммирование рядов фурье

построение средних рядов Фурье с помощью суммирования методов. Наиболее развита теория С. р. Ф. по тригонометрич. системе. В этом случае для функций с рядами Фурье

изучаются свойства средних, соответствующих рассматриваемому методу суммирования. Напр., для Абеля Пуассона метода суммирования средними являются гармонические в единичном круге функции

а для средних арифметических метода суммирования - суммы Фейера

Кроме названных, наиболее важными в теории одномерных тригонометрич. рядов являются Чезаро методы суммирования, Рисса метод суммирования, Римана метод суммирования, Бернштейна Рогозинского, метод суммирования, Балле Пуссена метод суммирования. Рассматриваются также методы суммирования, порождаемые более или менее произвольной последовательностью -множителей

С. р. Ф. применяется в следующих задачах.

Представление функций с помощью рядов Фурье. Напр., средние Абеля Пуассона f(r, x )при и суммы Фейера при сходятся к функции f(х)в точках ее непрерывности, причем сходятся равномерно, если f непрерывна во веех точках; для каждой функции эти средние сходятся к ней в метрике L. Частные суммы рядов Фурье указанными свойствами не обладают.

Построение полиномов с хорошими аппроксимативными свойствами. Фактически с помощью С. р. Ф. было установлено Джексона неравенство. Для решения этой задачи, наряду с использованием известных методов суммирования, были предложены новые методы Джексона сингулярный интеграл, Балле Пуссена суммы.

В терминах средних рядов Фурье можно характеризовать многие свойства функций. Напр., функция f является существенно ограниченной в том и только том случае, когда существует такая постоянная М, что для всех n и х.

Существенную роль играет С. р. Ф. в теории кратных тригонометрич. рядов. Так, вместо сферических частных сумм чаще используют их средние Рисса достаточно высокого порядка.

Рассматривается также С. р. Ф. по другим ортонормированным системам функций как по конкретным системам или классам систем, напр., по ортогональным многочленам, так и по произвольным ортонормированным системам.

Лит.:[1] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; [2] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, т. 1-2, пер. с англ., М., 1965; [3] Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; [4] Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с. нем., М., 1958; [5] Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960.

С. А. Теляковский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985