Математическая энциклопедия - суммирования методы

способы построения обобщенных сумм рядов, обобщенных пределов последовательностей, значений несобственных интегралов.

В математич. анализе возникает потребность обобщить понятие суммы ряда (предела последовательности, значения интеграла) на случай, когда в обычном смысле ряд (последовательность, интеграл) расходится. Такое обобщение задают обычно в виде нек-рого правила или операции и называют методом суммирования.

1) Ряд Фурье непрерывной -периодической функции f(х)может расходиться на бесконечном множестве точек Последовательность же средних арифметических первых пчастичных сумм этого ряда

равномерно сходится на всей оси Ох к функции f(х), Если сумму ряда определить как

то в этом смысле ряд Фурье -периодической непрерывной функции будет равномерно сходиться к f(x)на всей оси Ох.

2) Ряд

полученный в результате умножения двух рядов

сходящихся соответственно к Аи В, может оказаться расходящимся. Если сумму ряда (2) определить, как в примере 1), т. е. как предел последовательности средних арифметических первых пчастичных сумм, то в этом смысле произведение указанных рядов будет сходиться к сумме С=АВ.

3) Степенной ряд

сходится для |z|<l к сумме 1/(1-z) и расходится для Если же сумму ряда (3) определить как

где sn частичные суммы ряда (3), то в этом смысле ряд (3) будет сходиться для всех z, удовлетворяющих условию Rez<l, причем его суммой будет функция 1/(1-z) (см. Бореля метод суммирования).

Важнейшими свойствами С. м. являются регулярность (см. Регулярные методы суммирования )и линейность (см. Линейный метод суммирования). Наиболее распространенные С. м. обладают этими свойствами. Многие из методов обладают также свойством транслятивности (см. Транслятивность метода суммирования). Широкий класс С. м. составляют матричные методы суммирования и полунепрерывные методы суммирования. Эти методы являются линейными и для них установлены условия регулярности. К матричным С. м., в частности, относятся Вороного метод суммирования, Чезаро методы, суммирования. Подкласс матричных С. м. составляют методы, определенные конечнострочными матрицами (см. Конечнострочный метод суммирования) и в частности треугольными матрицами (см. Треугольный метод суммирования). Полунепрерывными методами суммирования являются Абеля метод суммирования, Бореля метод суммирования, Миттаг-Леффлера метод суммирования, Линделёфа метод суммирования, Рисса метод суммирования. Существуют С. м., не относящиеся к указанным видам, напр. интегральный метод суммирования Бореля, Гёльдера методы суммирования.

Одна и та же последовательность (ряд) может быть суммируема одним методом и не суммируема другим. Множество всех последовательностей (рядов), суммируемых данным методом, наз. суммируемости полем данного метода.

Если рассматривают два С. м., и поле суммируемости одного метода содержит поле другого метода, то говорят о включении методов суммирования;в случае совпадения полей говорят о равносильности методов суммирования. Если поле С. м. состоит только из сходящихся последовательностей, то говорят, что С. м. эквивалентен сходимости. Установление условий, при к-рых имеет место включение С. м., является одной из задач теории суммируемости. Два или несколько С. м. могут быть совместными и несовместными. С. м. наз. совместными методами суммирования, если они не могут суммировать одну и ту же последовательность к различным пределам. В тех случаях когда из суммируемости ряда

методом Авсегда следует суммируемость ряда

методом В, говорят, что числа являются суммируемости множителями типа ( А, В).

Относительно С. м. различают два типа теорем. В теоремах 1-го (абелевого) типа из свойств последовательности делают заключение о свойствах средних этой последовательности, полученных в результате преобразования, определяющего С. м. Напр., теорема Коши, устанавливающая, что из всегда следует В теоремах 2-го (тауберова) типа из свойств средних, соответствующих данному С. м., и дополнительных условий делают заключения о свойствах преобразуемой последовательности (см. Тауберовы теоремы).

По аналогии с обычной сходимостью вводят понятия специальных видов суммируемости: абсолютной суммируемости, безусловной суммируемости, сильной суммируемости, почти-суммируемости, -суммируемости и др. видов суммируемости.

Понятие обобщенного предела вводят также для функций и интегралов. В этих случаях говорят о суммировании функции (соответственно интеграла). Напр., для функции s(y), определенной для всех у, С. м., аналогичный матричному С. м. последовательностей, состоит в том, что рассматривается интегральное преобразование типа

с ядром с( х, у), и функции s(y) в качестве ее обобщенного предела при относят число s, если

Аналогично, один из С. м. несобственных интегралов

состоит в том, что рассматривают преобразования

с ядром К( х, t),n интеграл (4) называют суммируемом к значению s, если

Определение С. м., введенное для суммирования числовых и функциональных последовательностей, обобщается на последовательности из элементов любого множества и общее определение С. м. может быть сформулировано так: пусть X - заданное множество, s(X) множество последовательностей из элементов оператор, определенный на нек-ром подмножестве со значениями в X. Тогда пару наз. методом суммирования, определенным в s(X), а А* - полем суммируемости. В этом случае последовательность (или ряд с членами наз. суммируемой к пределу где

Лит.:[1] Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; [2] Кук Р., Бесконечные матрицы и пространства последовательностей, пер. с англ., М., 1960; [3] Кангро Г. Ф., в сб.: Итоги науки и техники, Математический анализ, т. 12, М., 1974, с. 5-70; [4] Барон С., Введение в теорию суммируемости рядов, Таллин, 1977; [5] Реуеrimhoff A., Lectures on summability, В.Hdlb.N. Y., 1969; [6] Кnоpp K., Theory and application on infinite series, L., 1966; [7] Zeller K., Beekmann W., Theorie der Limitierungsverfahren, 2 Aufl., В.-Hdlb.-N. Y., 1970; [8] Pitt H., Tauberian theorem's, L., 1958; [9] Gane1ius Т. H., Tauberian remainder theorems, В.-[а. о.], 1971; [10] Petersen G. M., Regular matrix transformations, N. Y.-Toronto-Sydney, [1966]; [11] Брудно А. Л., лМатем. сб.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985