Математическая энциклопедия - тета-ряд

,ТЕТА-РЯД -ряд,функциональный ряд, применяемый для представления автоморфных форм и автоморфных функций.

Пусть D - область комплексного пространства дискретная группа автоморфизмов области D. Если группа Г конечна, то из любой мероморфной в Dфункции Н(z), z=(z1, . . ., zp), можно получить автоморфную функцию

Для бесконечных групп необходимы множители сходимости, что н приводит к Т.-р. Тета-рядом Пуанкаре, или просто рядом Пуанкаре, ассоциированным с группой Г, наз. ряд вида

где якобиан отображения т - целое действительное число, называемое весом или порядком; звездочка означает, что суммирование выполняется только по тем к-рые доставляют различные члены ряда. При отображении функция преобразуется по закону и, следовательно, представляет собой автоморфную функцию веса т, ассоциированную с группой Г. Отношение двух Т.-р. одинакового веса дает автоморфную функцию.

Т.-р. частного вида

наз. тета-рядами Эйзенштейна или просто рядами Эйзенштейна, ассоциированными с группой Г.

Л. Пуанкаре (Н. Poincarе) в серии работ 80-х гг. 19 в. развил теорию Т.-р. в связи с изучением автоморфных функций одного комплексного неременного. Пусть Г дискретная фуксова группа дробно-линейных преобразований

отображающая единичную окружность на себя, D={z; |z|<1} -единичный круг. Ряды Пуанкаре в этом случае имеют вид

где Н, напр.,ограниченная голоморфная функция в D. В предположении, что Г действует свободно на Dи фактор Х=D/ Гкомпактен, доказано, что ряд (2) сходится абсолютно и равномерно внутри Dпри При высказанных условиях на H и Г это утверждение верно и для рядов (1) в случае, когда Dограниченная область в Для нек-рых фуксовых групп ряды (2) сходятся и при т=1.

Название лтета-ряды

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985