Математическая энциклопедия - вариационные принципы классической механики

основные, исходные положения аналитич. механики, математически выраженные в форме вариационных соотношений, из к-рых как логпч. следствия вытекают дифференциальные уравнения движения, а также все положения и законы механики. В В. п. к. м. действительные движения материальной системы, происходящие под действием заданных сил, сравниваются с кинематически возможными движениями, допускаемыми наложенными на систему связями и удовлетворяющими определенным условиям. В большинстве случаев признаком, по к-рому действительное движение выделяется из рассматриваемого класса кинематически возможных движений, служит условие экстремальности (стационарности) нек-рой скалярной 'функции или функционала, обеспечивающее инвариантность описания.

В. п. к. м. отличаются один от другого как по форме и способам варьирования, так и по общности, но каждый из них, в рамках его приложимости, образует единую основу и как бы синтезирует всю механику соответствующих материальных систем. Иными словами, тот или иной из В. п. к. м. потенциально заключает в себе все содержание этой области науки и объединяет все ее положения в единой формулировке.

Классич. механика основывается на законах Ньютона, установленных для свободных материальных точек, и аксиомах связей. Справедливость В. п. к. м. доказывается, исходя из этих законов и аксиом. В свою очередь, любой из В. п. к. м. можно принять за аксиому и из нее логически вывести законы механики.

В. п. к. м. по форме подразделяются на дифференциальные и интегральные принципы. К дифференциальным принципам, характеризующим свойства движения для любого данного момента времени, относятся: принцип возможных перемещений, принцип Д'Аламбера Лагранжа, принципы Гаусса, Герца, Четаева и Журдена. Интегральными принципами, характеризующими свойства движения на любых конечных промежутках времени, являются принципы наименьшего действия в формах Гамильтона Остроградского, Лагранжа, Якоби и нек-рые др.

Первый пз В. п. к. м.принцип возможных (виртуальных) перемещений, применялся еще Г. Галилеем (G. Galilei, 1665). Первым, кто понял общность этого принципа и его полезность для решения задач статики, был И. Бернулли (J. Bernoulli, 1717). Принцип получил обоснование, существенное развитие и применение в "Аналитической механике" Ж. Лагранжа (J. Lagrange, 1788), считавшего его основным для всей механики.

Этот принцип позволяет находить положения равновесия системы материальных точек, т. е. такие положения , в к-рых система будет оставаться все время, если она помещена в эти положения с нулевыми начальными скоростями при условии, что возможные положения и кинематически возможные скорости при любом t. Здесь радиус-векторы точек системы относительно начала Оинерциальиой системы координат , причем ; возможные перемещения, допускаемые в данный момент времени наложенными на систему связями, заданные активные силы, реакции связей. Связи далее предполагаются идеальными и удерживающими, т. е.

Принцип возможных перемещений: механич. система находится в равновесии в нек-ром положении тогда и только тогда, когда сумма элементарных (бесконечно малых) работ активных сил на всяком возможном перемещении, выводящем систему из рассматриваемого положения, равна нулю

в любой момент времени.

Уравнение (1) является общим уравнением статики, сводящим любую задачу статики к математич. задаче исследования этого уравнения. Для частного случая потенциальных сил

где TV число точек системы, равенство (1) принимает вид ,

при любом t, т. е. механич. система, подверженная действию потенциальных сил, находится в равновесии тогда и только тогда, когда силовая функция имеет стационарное значение.

Для вывода уравнений динамики методами статики применяется так наз. принцип Д'Аламбера: если к действующим на точки материальной системы заданным (активным) силам и силам реакций связей присоединить силы инерции , то такая система сил будет находиться в равновесии. Здесь масса -и точки, ее ускорение. Обобщение принципа Д'Аламбера и принципа возможных перемещений было получено Ж. Лагранжем (1788).

Принцип Д'Аламбера Лагранжа: для действительного движения системы сумма элементарных работ активных сил п сил инерции на любых возможных перемещениях равна нулю:

в любой момент времени.

В принципе Д'Аламбера Лагранжа сравниваются положения системы в ее действительном движении с бесконечно близкими положениями, допускаемыми связями в рассматриваемый момент времени. Соотношение (3) определяет зависимость между активными силами, вызываемыми ими при наложенных связях ускорениями и возможными перемещениями. Выражая необходимое и достаточное условие соответствия действительного движения, являющегося одним из кинематически возможных движений, заданным активным силам, уравнение (3) является общим уравнением динамики. Когда все ускорения уравнение (3) принимает вид (1) общего уравнения статики.

Уравнения движений содержатся в уравнении (3). Для получения полной системы независимых дифференциальных уравнений динамики достаточно выразить возможные перемещения через систему независимых перемещений и подставить в уравнение (3). Таким путем могут быть получены, напр., уравнения Лагранжа, Аппеля и любая другая система независимых дифференциальных уравнений движения. Если же из семейства возможных перемещений выделить к.-л. одно перемещение и подставить его в уравнение (3), то полученное соотношение будет являться или одним из диф-ференцпальных уравнений движения системы или следствием из них. Таким способом можно получить, например, общие теоремы (законы) динамики: о количестве движения, моменте количеств движения, кинетической энергии.

Общие теоремы динамики системы характеризуют нек-рые свойства движения, но, в отличие от В. п. к. м., ни одна из них в общем случае не в состоянии заменить всю систему дифференциальных уравнений движения и вполне охарактеризовать движение системы.

Принцип Д'Аламбера Лагранжа является одним из наиболее общих В. п. к. м., справедливым как для голономных, так и для неголономных систем. Все другие В. п. к. м. представляют собой или иные формулировки этого принципа или следствия из него. Принцип Д'Аламбера Лагранжа не связан, однако, с понятием экстремума к.-л. функции. В нем фигурирует бесконечно малая величина сумма элементарных работ заданных сил и сил инерции на бесконечно малом возможном перемещении из заданной конфигурации, не представляющая собой вариации к.-л. функции, подобно равенству (2).

К. Гаусс (С. Gauss, 1829) предложил новый вариационный принцип, представляющий собой модификацию принципа Д'Аламбера-Лагранжа. Среди всех кинематически возможных движений рассматриваются мыслимые по Гауссу движения, удовлетворяющие условиям, наложенным на систему связей, и условием постоянства и для рассматриваемого момента времени t. В момент

где и обозначают изменения скоростей за промежуток времени для действительного и к.-л. мыслимого движений; при этом уравнение (3) приводится к виду

причем .

Принцип наименьшего принуждения (Гаусса принцип): движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы они стали свободными, т. е. движение происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения за время dt принять величину Z, равную сумме произведений массы каждой точки на квадрат величины ее отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной. Иначе говоря, в каждый момент времени tсреди всех ускорений, обусловленных связями, действительными ускорениями различных точек системы будут те, которые обращают в минимум функцию Z второй степени относительно ускорений.

Равновесие является частным случаем общего закона: оно имеет место в том случае, когда точки не имеют скорости и когда сохранение системы в состоянии покоя более близко к свободному движению в случае упразднения связей, чем к возможным движениям, допускаемым связями.

Из принципа Гаусса при выражении Z через независимые ускорения системы получаются уравнения Аппеля. Принцип Гаусса представляет собой физич. аналогию предложенному К. Гауссом наименьших квадратов методу теории ошибок. Принцип Гаусса эквивалентен принципу Д'Аламбера Лагранжа, однако при рассмотрении нелинейных дифференциальных связей вида эти принципы по П. Аппелю (P. Appell) и Э. Делассю (Е. Delassus, 1911-13) оказались несовместимыми. Этот вопрос был разрешен Н. Г. Четаевым (1932 33), предложившим определять возможные перемещения для нелинейных связей условиями вида

Из принципа Гаусса следует принцип наименьших реакций: для действительного движения величина

есть минимум. Принцип Гаусса обобщен на случай освобождения системы от части связей. Так как возможные перемещения исходной системы находятся среди возможных перемещений освобожденной системы, то справедливо соотношение:

где изменение скорости за время dt в освобожденном движении. Это уравнение с учетом (4) можно привести к виду

где

характеризует меру отклонения движения от движения за время . Аналогично записываются и Из уравнения следуют неравенства

выражающие теорему: отклонение действительного движения системы от мыслимого [освобожденного действительного ] движения меньше отклонения движения от движения . Эта теорема доказана Н. Г. Четаевым (1932 33). Теорема, выражаемая вторым из неравенств (6), для случая линейных неголономных связей высказана Э. Махом (Е. Mach, 1883) и доказана Е. А. Болотовым (1916).

К принципу Гаусса тесно примыкает принцип прямейшего пути, постулированный Г. Герцем (Н. Hertz., 1894) в качестве основного закона разработанной нм механики, в которой, в отличие от механики Ньютона, вместо понятия силы введены представления о скрытых связях, скрытых массах и скрытых движениях.

Принцип прямейшего пути (наименьшей кривизны принцип, Герца принцип): всякая свободная система пребывает в своем состоянии покоя или равномерного движения вдоль прямейшего пути. Под свободной системой Г. Герц понимает систему, не подверженную действию активных сил и стесненную только внутренними связями, накладывающими условия лишь на взаимное расположение точек системы. Прямейший путь определяется как такая траектория, элементарные дуги к-рой обладают наименьшей кривизной по сравнению с любыми другими" дугами, допускаемыми связями и имеющими с рассматриваемой элементарной дугой общие начальную точку и касательную в ней, причем величина Z интерпретируется как кривизна траектории точки, изображающей положение системы в ЗN-мерном евклидовом пространстве с прямоугольными координатами

Иными словами, принцип Герца утверждает, что среди всех совместимых со связями траекторий действительная траектория обладает наименьшей кривизной.

Принцип Герца эквивалентен принципу Гаусса для систем, стесненных стационарными связями и не подверженных действию активных сил. Н. Г. Четаев (1941) предложил следующее видоизменение принципа Гаусса.

Принцип максимума работы (принцип Четаева): работа

на элементарном цикле, состоящем из прямого движения в поле заданных сил и движения обратного в поле сил, к-рых было бы достаточно для создания действительного движения, если бы механич. система была совершенно свободной; для действительного движения имеет (относительный) максимум в классе мыслимых по Гауссу движений. Принцип Чатаева позволяет расширить характер обычно рассматриваемых механич. систем путем привлечения принципа Карно из термодинамики.

Изложенные принципы по способам-варьирования подразделяются на две группы: в принципах возможных перемещений и Д'Аламбера Лагранжа варьируется в нек-рый момент времени положение системы, aв принципах Гаусса, Герца и Четаева варьируются ускорения системы при постоянных и . Промежуточное место между этими двумя группами занимает принцип Журдена, в к-ром в момент tварьируются скорости при постоянных . В момент возможные перемещения , и уравнение (3) принимает вид:

В интегральных В. п. к. м. сравнение действительного и кинематически возможных движений производится для конечных промежутков времени. Именно, сравниваются значения нек-рых определенных интегралов (наз. действием), вычисляемых для действительного и кинематически возможных движений, удовлетворяющих определенным условиям, между нек-рыми двумя конечными положениями системы. Интегральные В. п. к. м. менее общи по сравнению с дифференциальными принципами и применимы гл. обр. к голоном-ным системам, находящимся под действием потенциальных сил. Наиболее общим из них является принцип, установленный У. Гамильтоном (W. Hamilton, 1834 35) для случая стационарных голономных связей н обобщенный М. В. Остроградским (1848) на нестационарные геометрич. связи. Пусть известны положения н голономной системы в моменты времени и в нек-ром ее действительном движении под действием заданных сил и сил реакций. В этом движении будут функциями времени, к-рые удовлетворяют связям н принимают для н значения, отвечающие положениям и . Пусть нек-рые функции времени класса , достаточно близкие к , удовлетворяющие связям н принимающие для и те же значения, что и . При этом уничтожаются при и и. имеют смысл возможных перемещений. Если считать , то

где функционал Sназ. действием по Гамильтону за промежуток времени .