Математическая энциклопедия - винера - хопфа метод
Связанные словари
Винера - хопфа метод
метод решения функционального уравнения вида:
где заданные функции комплексного переменного , аналитические в полосе причем отличны от нуля в этой полосе; функции ' неизвестные функции комплексного переменного , стремящиеся к нулю при и подлежащие определению, причем аналнтична при аналитична при Уравнение (1) выполняется в общей полосе аналитичности
Основой В.-X. м. являются следующие две теоремы. 1) Функция , аналитическая в полосе и равномерно стремящаяся к нулю при , представима в этой полосе в виде суммы:
где аналитична в полуплоскости аналитична в полуплоскости .
2) Функция , аналитическая и отличная от нуля в полосе и равномерно стремящаяся в этой полосе к единице при , представима в данной полосе в виде произведения:
где и аналитичны и отличны от нуля, соответственно, в полуплоскостях
Представление (2) часто наз. факторизацией функции
Основная идея В.-X. м. заключается в возможности факторизации функции т. е. в возможности представления
Используя (3), уравнение (1) можно переписать в виде:
Поскольку аналитична в полосе, то
Используя (4), получают окончательно уравнение (1) в виде:
Левая часть выражения (5) представляет собой функцию, аналитическую в , а правая функцию, аналитическую в . Так как они имеют общую полосу аналитичности, где выполняется условие (5), то существует единственная целая функция , совпадающая, соответственно, с левой и правой частями (5) в областях их аналитичности. Отсюда
т. е. решение уравнения (1) определено с точностью до целой функции. Если степень роста функций и ограничена на бесконечности, то будет многочленом. Тогда искомые функции определяются с точностью до постоянных, к-рые вычисляются из дополнительных условий.
В.-X. м. был разработан в [1] для решения интегральных уравнений специального вида (см. Винера Хопфа уравнение). В дальнейшем он нашел широкое применение в различных задачах математич. физики (см. также [2]).
Лит.:[1] Wiener N., Hopf Е., Uber cine Klasse singularer Integralgleichungen, "Sitz. Akad. Wiss.", В., 1931; [2] Нобл Б., Применение метода Винера Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, пер. с англ., М., 1962. В. И. Дмитриев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия
И. М. Виноградов
1977—1985
Вопрос-ответ:
Похожие слова
Самые популярные термины
1 | 558 | |
2 | 484 | |
3 | 482 | |
4 | 474 | |
5 | 455 | |
6 | 441 | |
7 | 438 | |
8 | 435 | |
9 | 426 | |
10 | 425 | |
11 | 423 | |
12 | 413 | |
13 | 407 | |
14 | 376 | |
15 | 376 | |
16 | 373 | |
17 | 367 | |
18 | 366 | |
19 | 365 | |
20 | 363 |