Математическая энциклопедия - вычет-форма

форма-вычет,обобщение понятия вычета аналитич. функции одного комплексного переменного на случай многих переменных. Пусть X - комплексное аналитич. многообразие, S - его аналитич. одмногообразие комплексной коразмерности 1 и пусть -замкнутая внешняя дифференциальная форма класса на , имеющая на Sполярную особенность 1-го порядка. Последнее означает, что для функции , голоморфной от хв окрестности точки и такой, что

форма принадлежит классу . При этих условиях в окрестности Uлюбой точки существуют такие формы класса , что

причем есть замкнутая форма класса , зависящая только от . Замкнутая форма на , определяемая в окрестности каждой точки , сужением , наз. вычет-формой формы и обозначается

Если форма голоморфна, то и ее В.-ф. голоморфна. Напр., для и формы

где f, s- голоморфные функции в , grad на S, В.-ф. равна

в точках, где

Для В.-ф. имеет место формула вычета:

где произвольный цикл в Sразмерности, равной степени , цикл в граница нек-рой цепи в X, находящейся в общем положении с Sи пересекающейся с

Кратная В.-ф. определяется по индукции.

Вычет-класc (или класс-вычет) замкнутой в формы есть класс когомологий подмногообразия S, образованный В.-ф. форм класса в , когомологичных и имеющих на Sполярную особенность 1-го порядка. Вычет-класс формы обозначается Вычет-класс голоморфной формы может не содержать голоморфной формы, так что в общем случае нельзя ограничиться рассмотрением кольца голоморфных форм вместо кольца замкнутых форм. Однако это возможно, если X Штейна многообразие. Вычет-класс не зависит от выбора со из одного и того же класса когомологий и осуществляет гомоморфизм группы классов когомологий многообразия в группу классов когомологий многообразия S:

Как и для В.-ф., справедлива формула вычета:

причем интеграл в правой части берется от любой формы из вычет-класса Res [w] и не зависит от ее выбора. Лит. см. при ст. Вычет аналитической функции [7], [8], [4].

А. П. Южаков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985