Математическая энциклопедия - замыкание вычислительного алгоритма

система уравнений

предельная при для системы частично разрешенных уравнений

описывающих последовательные этапы вычислительного алгоритма решения уравнения

(напр., сеточного уравнения, тогда hшаг сетки), аппроксимирующего при h->0 уравнение

При этом L^h0=L^h, f^h0=f^h, L^hMтождественный оператор, f^hM= (L^h)^-1f^h=u^h, т. е. на М-м этапе алгоритма получается окончательное решение аппроксимирующего уравнения (3). Функция z(m, h )предполагается возрастающей вместе с т (напр., линейной возрастающей) и удовлетворяющей граничным условиям z(0, h) = 0, z(M, h) = Z.He исключается возможность М=бесконечность;. в этом случае понимаются как пределы переменных z(m, h )при Случай соответствует итерационным методам решения уравнения (3).

Если операторы L2 в уравнении (1) ограничены равномерно по z, то говорят, что алгоритм (2) имеет регулярное замыкание. Хотя множества алгоритмов с регулярным замыканием и реально устойчивых алгоритмов не совпадают, построение 3. в. а. часто помогает при исследовании устойчивости алгоритма к различным возмущениям, в частности к вычислительной погрешности (см. [3], [4]).

Понятие 3. в. а. введено в [1]. Там же получено и исследовано замыкание алгоритма последовательного исключения неизвестных решения сеточного уравнения, аппроксимирующего уравнение (4), где Lu=u-Au, Аинтегральный оператор Фредгольма.

Построение 3. в. а. и обратная операция построение по непрерывному процессу дискретного алгоритма, имеющего этот процесс своим замыканием,бывают полезными при конструировании новых методов решения задач. В частности, большое число итерационных методов имеет своими замыканиями устанавливающиеся процессы. Напр., методу простой итерации решения сеточного уравнения Лапласа соответствует процесс установления ut=D и, трехслойному итерационному методу процесс установления и tt+aut=Du (см. [5]).

Лит.:[1] Соболев С. Л., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1956, т. 20, № 4, с. 413-36; [2] Бабушка И., Прагер М., Витасек Э., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1964, т. 4, № 2, с. 351-53; [3] Бахвалов Н. С, Вычислительные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, К., 1970; [4] его же, Численные методы, 2 изд., М., 1975; [5] Саульев В. К., Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток, М., 1960; [6] Шапкин А. Ф., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1967, т. 7, № 2, с. 411 -16.

А. Ф. Шапкин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985