Математическая энциклопедия - жордана разложение

1) Ж. р. функции ограниченной вариации представление функции f в виде

где f1 и f2 монотонно возрастающие функции. Ж. р. наз. также представление обобщенной меры, или зарядаm(Е)измеримого множества Ев виде разности мер

где хотя бы одна из мерm⁺ или m^- конечна. Установлено К. Жорданом.

Лит.:[1] Jordan С, Cours d'analyse, t. 1, P., 1893; [2] Халмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [3] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974.

М. И. Войцеховский.

2) Ж. р. эндоморфизма gконечномерного векторного пространства представление этого эндоморфизма в виде суммы полупростого и нильпотентного эндоморфизмов, коммутирующих между собой: g=gs+gn. Эндоморфизмы gs и gn наз. соответственно полупростой и нильпотентной компонентами Ж. р. эндоморфизма g. Такое представление наз. аддитивным Ж. р. (Полупростой эндоморфизм эндоморфизм, обладающий при нек-ром расширении основного поля базисом из собственных векторов, нильпотентный равный в некоторой степени нулю.) Если в нек-ром базисе пространства матрица || а ij|| эндоморфизма gявляется жордановой матрицей, а tтакой эндоморфизм, что в том же базисе его матрица имеет вид ||bij||, где bij=0 при всех и bii=±aii для всех i, то будет Ж. р. эндоморфизма gс gs="и gn=gt.

Ж. р. существует и единственно для любого эндоморфизма gвекторного пространства Vнад алгебраически замкнутым полем К. Более того, gs-P(g)и gn=Q(g)для некоторых многочленов Ри Qнад полем К(зависящих от g)с нулевыми свободными членами. Если Wинвариантное относительно gподпространство в V, то Wинвариантно относительно gs и gn, причем

является Ж. р. для g|W (здесь |W обозначает сужение эндоморфизма на подпространство W). Если kподполе в Ки gрационально над к (относительно некоторой k-структуры на V), то gs и gn не будут, вообще говоря, рациональными над k;можно лишь утверждать, что gs и gn рациональны над полем k^p-°°, где , рхарактеристическая экспонента поля к(при р = 1 совпадает с к, а при р>1 это множество всех элементов из К, чисто несепарабельных над k).

Если gавтоморфизм пространства V, то gsтакже автоморфизм Vи где 1утождественный автоморфизм пространства V. Автоморфизм gu является унипотентным, т. е. все его собственные значения равны единице. Всякое представление автоморфизма g в виде произведения коммутирующих полупростого и унипотентного автоморфизмов совпадает с описанным представлением g=gsgu=gugs. Это представление наз. мультипликативным Ж. р. автоморфизма g,a gs и guполупростой и унппотентной компонентой автоморфизма g. Если gрационален над k, то gs и ga рациональны над Если W - инвариантное относительно gподпространство в V, то Wинвариантно относительно gs и ga,a мультипликативное Ж. р. автоморфизма g|W.

Понятие Ж. р. может быть обобщено на локально конечные эндоморфизмы бесконечномерного векторного пространства V, т. е. такие эндоморфизмы g, что Vпорождается конечномерными g-инвариантными подпространствами. Для gимеют место существование и единственность представления в виде суммы gs+gn, а в случае автоморфизма в виде произведения gsgu, коммутирующих локально конечных полупростого и нильпотентного эндоморфизмов (соответственно полупростого и унипотентного автоморфизмов), т. е. таких эндоморфизмов, что любое конечномерное g-инвариантное подпространство Wв Vинвариантно относительно gs и gn (соответственно gs и gu)n g|W= gs|W+gn|W (соответственно g|W=gs|W gu|W есть Ж. р. для gw).

Указанное распространение понятия Ж. р. на локально конечные эндоморфизмы позволяет ввести определение Ж. р. в алгебраич. группах и алгебраич. алгебрах Ли. Пусть Gаффинная алгебраич. группа над К,ее алгебра Ли, р представление Gв группу автоморфизмов алгебры K[G]. регулярных функций на G, определенное правыми сдвигами, и dpего дифференциал. Для любых gиз Gи Xиз эндоморфизмы r(g). и dr(X). векторного пространства K[G]являются локально конечными, поэтому можно говорить об их Ж. р.:

и

Один из важных результатов теории алгебраич. групп состоит в том, что указанные Ж. р. реализуются с помощью элементов из Gи соответственно. Точнее, существуют однозначно определенные элементы gs, и Xs, такие, что

и