Математическая энциклопедия - аппеля многочлены

Аппеля полином ы, класс многочленов над полем комплексных чисел, содержащий многие классич. системы многочленов. А. м. введены П. Аппелем [1]. Последовательность А. м. определяется формальным равенством

в к-ром формальный степенной ряд с комплексными коэффициентами причем . В явном виде А. м. An(z).выражаются через числа следующим образом:

Условие равносильно тому, что степень многочлена равна .

Имеется другое, эквивалентное определение А. м. Пусть

дифференциальный оператор, вообще говоря, бесконечного порядка, определенный над алгеброй Ркомплексных многочленов переменного Тогда

то есть представляет собой образ функции при отображении

Класс А. м. определяется как совокупность всевозможных систем многочленов с производящими функциями вида (1). Принадлежность системы многочленов (степени п).классу равносильна выполнению соотношений

Иногда при определении А. м. класса А ⁽¹⁾ пользуются соотношениями

к-рые, с точностью до нормировки, эквивалентны приведенным выше.

А. м. класса А ⁽¹⁾ используются при решении уравнений вида

формальное равенство при

позволяет записать решение (2) в виде

где А. м. с производящей функцией В связи с этим особый интерес представляют разложения аналитич. функций в ряды по А. м. Кроме того, А. м. находят применение в различных задачах, относящихся к функциональным уравнениям, в том числе к дифференциальным уравнениям, отличным от (2), в вопросах интерполирования, теории приближения, в методах суммирования и др. (см., напр., [1] -[6]). С более общей позиции теория А. м. класса А ⁽¹⁾ (инек-рые приложения) изложена в [6].

А. м. класса А ⁽¹⁾ содержат в качестве частных случаев целый ряд классических последовательностей многочленов. Примерами, с точностью до нормировки, могут служить Бернулли многочлены

Эрмита многочлены

Лагерра многочлены

и т. д. Многочисленные примеры А. м. имеются в [2] и [3].

Существуют различные обобщения А. м., к-рые также носят назв. систем A.M. Сюда относятся А. м. с производящими функциями вида

а также А. м. с производящими функциями более общего характера:

(см., напр., [2] и [3]). Если функция, обратная функции , то принадлежность системы многочленов к классу последовательностей А. м. с производящей функцией вида (3) равносильна выполнению соотношений

Имеется всего пять ортогональных с весом систем последовательностей А. м. на действительной оси, с производящими функциями вида (3); в том числе среди А. м. с производящими функциями вида (1) лишь одна система многочленов Эрмита является ортогональной с весом на действительной оси (см. [7]).

О разложениях в ряды по А. м. с производящими функциями вида (3) и (4), а также о связи этих А. м. с различными функциональными уравнениями см. [2], [7], [8].