Математическая энциклопедия - аппроксимативная производная

обобщение понятия производной, в к-ром обычный предел заменяется аппроксимативным пределом. Если для функции действительного переменного существует

то он наз. аппроксимативной производной функции в точке и обозначается . В простейшем случае есть действительная функция (в более общем случае вектор-функция). А. п. может быть как конечной, так и бесконечной.

Для А. п. функции f (x) в точке х 0 наз. верхняя грань множества тех , для к-рых служит точкой разряжения множества . Эти А. п. обозначаются соответственно

А. п. существует в том и только том случае, если верхний и нижний А. п. равны; их общее значение совпадает с А. п.

В случае действительного употребляются также односторонние (правый и левый) верхние и нижние А. п. (при этом требуется, чтобы была соответственно правосторонней или левосторонней точкой плотности области определения функции). Для правого верхнего А. п. употребляют запись

аналогично записываются и другие случаи. Прп совпадении правых верхнего п нижнего А. п. получается правый А. п., при совпадении левых левый А. п.

А. п. был использован впервые А. Данжуа (A. Denjoy, 1915) и А. Я. Хинчиным (1916-18) при исследования дифференциальных связей неопределенного интеграла (в смысле Лебега и в смысле Данжуа Хинчина) и под-интегральной функции (см. Аппроксимативная непрерывность, Аппроксимативная производная).

Лит.:[1] Сакс С., Теория интеграла, пер. о англ., М., 1949. Г. П. Толстое.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985