Математическая энциклопедия - аппроксимативная дифференцируемость

обобщение понятия дифференцируемости с заменой обычного предела аппроксимативным пределом. Действительная функция действительного переменного наз. аппроксимативно дифференцируемой в точке х 0, если существует такое число А, что

При этом величина наз. аппроксимативным дифференциалом функции в точке . Функция аппроксимативно дифференцируема в точке х 0 в том и только том случае, если она имеет в этой точке аппроксимативную производную . Аналогично определяется А. д. для действительных функций пдействительных переменных. Напр., в случае наз. аппроксимативно дифференцируемой в точке если

где Аи Внек-рые числа,

Выражение наз. аппроксимативным дифференциалом функции в точке

Теорема Степанова: действительная функция , измеримая на множестве Е, аппроксимативно дифференцируема почти всюду на E в том и только том случае, если почти всюду на Еона имеет конечные аппроксимативные частные производные по ж и по у;эти частные производные почти всюду на Есовпадают соответственно с коэффициентами Ап Ваппроксимативного дифференциала.

Понятие А. д. распространяется также на вектор-функции одного или нескольких действительных переменных.

Лит.:[1] Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949. Г. П. Толстов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985