Математическая энциклопедия - автономная система
Связанные словари
Автономная система
обыкновенных дифференциальных уравнений система обыкновенных дифференциальных уравнений, в к-рую не входит явно независимое переменное t(время). Общий вид А. с. 1-го порядка в нормальной форме:
или, в векторной записи,
Неавтономная система сводится к А. с., если ввести новую неизвестную функцию Исторически А. с. возникли при описании физич. процессов с конечным числом степеней свободы. А. с. наз. также динамическими, или консервативным и (см. Динамическая система).
Комплексная А. с. вида (1) эквивалентна вещественной А. с. с 2n неизвестными функциями
Содержательная теория комплексных А. с., отличная от вещественного случая, имеет место в случае аналитических (см. Аналитическая теория дифференциальных уравнений).
Будем рассматривать А. с. с действительными коэффициентами и их действительные решения. Пусть (произвольное) решение А. с. (1), интервал его определения,решение с начальными данными Пусть область в и Точка наз. положением равновесия (точкой покоя) А. с. (1), если Положению равновесия отвечает решение
Локальные свойства решений.
1) Если решение, то решение при любом
2) Существование: при любых решение существует на нек-ром интервале
3) Гладкость: если то
4) Зависимость от параметров: пусть если (подробнее см. [1] [4]).
5) Пусть не является положением равновесия, тогда существуют окрестности F, Wточек соответственно, и диффеоморфизм такие, что А. с. имеет вид в W.
Замена переменных в А. с. (1) приводит к системе
( Якоби матрица).
Глобальные свойства решений.
1) Любое решение А. с. (1) можно продолжить на интервал . Если , то решение наз. неограниченно продолжаемым; если то решение наз. неограниченно продолжаемым "в перед повремени" (аналогично "назад"). Если то для любого компакта существует = такое, что точка находится вне при (аналогично при ; см. Продолжаемость решений дифференциальных уравнений).
2) Продолжение единственно в том смысле, что любые два решения с общими начальными данными совпадают на общей области их определения.
3) Всякое решение А. с. принадлежит к одному из трех типов: а) непериодическое, причем для любых ) периодическое, непостоянное; с) .
Геометрическая интерпретация А. с. Каждому решению ставится в соответствие кривая Г: лежащая в области G. Тогда Gназ. фазовым пространством А. с., Г фазовой траекторией, решение интерпретируется как движение по фазовой траектории. Фазовым потоком наз. отображение : по формуле (т. е. каждая точка сдвигается за время tвдоль фазовой траектории). На своей области определения фазовый поток удовлетворяет условиям: 1) непрерывно по 2) справедливо групповое свойство:
Имеет место теорема Лиувилля: пусть область с конечным объемом, объем области тогда
Для гамильтоновой системы из (3) следует сохранение фазового объема фазовым потоком. Другой вариант равенства (3): пусть семейство решений А. с. (1), область, тогд
Вопрос-ответ:
Похожие слова
Самые популярные термины
1 | 548 | |
2 | 475 | |
3 | 471 | |
4 | 464 | |
5 | 448 | |
6 | 432 | |
7 | 430 | |
8 | 425 | |
9 | 417 | |
10 | 416 | |
11 | 415 | |
12 | 405 | |
13 | 397 | |
14 | 371 | |
15 | 368 | |
16 | 362 | |
17 | 357 | |
18 | 356 | |
19 | 356 | |
20 | 355 |