Математическая энциклопедия - бернулли многочлены

многочлены вида

где BsБернулли числа. Так, для n=0, 1, 2, 3

Б. м. можно вычислять по рекуррентной формуле

Для натурального Б. м. впервые рассматривались Я. Бернулли (J. Bernoulli, 1713) в связи с вычислением суммы

При произвольном хБ. м. впервые изучал Л. Эйлер (L. Euler) (см. [1], с. 300). Термин "Б. м." ввел И. Л. Раабе (J. L. Raabe, 1851). Основное свойство: Б. м. удовлетворяют разностному уравнению

и поэтому играют в исчислении конечных разностей ту же роль, что и степенные функции в дифференциальном исчислении.

Б. м. принадлежат к классу Аппеля многочленов, т. е. удовлетворяют условию:

и тесно связаны с Эйлера многочленами:

Производящая функция Б. м. имеет вид:

Для Б. м. справедливо разложение в Фурье ряд для п=1

и для

Б. м. удовлетворяют соотношениям:

(теорема умножения),

(теорема, дополнения),

(теорема сложения аргументов).

Б. м. используются для выражения остаточного члена Эйлера Маклорена формулы суммирования и для разложения функций в ряды. Из свойств Б. м. выва-дятся многие важные свойства чисел Бернулли: Б. м. используются для интегрального представления дифференцируемых периодпч. функций .

и играют важную роль в теории приближения таких функций тригонометрия, полиномами и др. агрегатами, см. Фавара задача.

Известны различного рода обобщения Б. м. Н. Э. Нёрлундом введены обобщенные Б. м. порядка v и степени п:

(нек-рые частные случаи этих многочленов рассматривались ранее В. Г. Имшенецким, Н. Я. Сониным и Д. М. Синцовым). Пусть

и

тогда последовательно определяются как полиномиальные решения степени празностного уравнения

где (обобщенные числа Бернулли) находятся из рекуррентного соотношения

Лит.: [1] Эйлер Л., Дифференциальное исчисление, пер. с лат., М.-Л., 1949; [2] Nоr1und N. Е., Vorlesungen uber Differenzenrechnung, В., 1924; [3]Бейтмен Г., Эрдей и А., Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра, пер. с англ., М., 1965; [4] Лихин В. В., в сб.: Историко-математические исследования, в. 12, М., 1959, с. 59-134. Ю. Н. Субботин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985