Математическая энциклопедия - бертрана признак

сходимости числовых рядов с положительными членами: если

и существует предел (конечный лли бесконечный)

то при ряд сходится, а при расходится. Установлен Ж. Бертраном (J. Bertrand).

Лит.:[1] Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, 7 изд., М., 1970.

Л. Д. Кудрявцев.

ВЕСКОАЛИЦИОННАЯ ИГРА система

где множество игроков, множество стратегий -то игрока, функция выигрыша -го игрока, определенная на декартовом произведении Б. и. разыгрывается следующим образом: игроки, действуя изолированно (не вступая в коалиции), выбирают свои стратегии , в результате чего складывается ситуация , в к-рой игрок получает выигрыш . Основным принципом оптимальности в Б. и. является принцип осуществимости цели (см. [1]), приводящий к ситуациям равновесия по Нэшу. Ситуация наз. ситуацией равновесия, если для всех справедливо неравенство

где . Таким образом, в одностороннем нарушении договора между игроками, соответствующего ситуации равновесия, не заинтересован ни один из игроков. Было доказано (теорема Н э ш а), что конечная Б. и. (множества конечны) обладает ситуацией равновесия в смешанных стратегиях. Имеются обобщения этой теоремы на бесконечные Б. и. с конечным числом игроков (см. [3]) и на Б. и. с бесконечным числом игроков (см. Неатомическая игра).

Ситуации равновесия наз. взаимозаменяемыми, если любая ситуация где или также равновесна. Они наз. эквивалентными, если для всех Пусть множество всех ситуаций равновесия, множество ситуаций равновесия, оптимальных по Парето (см. Арбитражная схема). Игра наз. разрешимой в смысле Н э ш а, а наз. решением по Нэшу, если все эквивалентны и взаимозаменяемы. Игра наз. строго разрешимой, если не пусто и все эквивалентны и взаимозаменяемы. Антагонистические игры, обладающие оптимальными стратегиями, разрешимы в смысле Нэша и строго разрешимы; однако в общем случае такая разрешимость возможна далеко не всегда.

Имеются другие попытки дополнения принципа осуществимости цели. Так, было предложено (см. [4]) решением Б. и. считать единственную ситуацию равновесия или максиминную ситуацию (выигрыши в последней ситуации каждый из игроков может себе гарантировсть независимо от выбора стратегий остальными игроками), выбор к-рой основан на введении нового отношения предпочтения на множестве ситуаций. Иным подходом к определению решения Б. и. является предположение о субъективном прогнозе поведения игроков (см. [5]).

Лит.: [1] Воробьев Н. Н., "Успехи матем. наук", 1970, т. 25, № 2 (152), с. 81-140; [2] Нэш Д ж., в сб.: Матричные игры, М., 1961, с. 205-21; [3] Гликсберг И. Л., в сб.: Бесконечные антагонистические игры, М., 1963, с. 497503; [4] Наrsanуi J. С., в кн.: Advances in game theory, Princeton (N. Y.), 1964, p. 651-79; [5] Вилкас Э. И., "Теория вероят: и ее примен.", 1968, т. 13, в. 3, с. 555-6.1.

Э. И. Вилкас, Е. Б. Яновская.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985