Математическая энциклопедия - дирака уравнение

релятивистское волновое уравнение, играющее фундаментальную роль в релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля. Д. у. применяется для описания частиц со спином ¹/2 (в единицах ); то есть электронов, нейтрино, мюонов, протонов, нейтронов и др., а также позитронов и всех др. античастиц и гипотетических субчастиц кварков. Д. у. является основой теории частиц полуцелого спина (¹/2, ³/2, ⁵/2 и т. д.), то естьфермионов, к-рые подчиняются Ферми статистике. Напр., обобщением Д. у. для частиц спина ³/2 является Рарита Швингера уравнение.

Д. у. есть система четырех линейных однородных дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка с постоянными комплексными коэффициентами, инвариантная относительно общей группы преобразований Лоренца:

где то масса покоя, х ^а=х ^а, х ¹, х ², x³ ОR

с псевдоевклидовой метрикой ( х, y)=habdx^ax^ady^b, a

метрический тензор пространства Минковского с сигнатурой +2; yДирака спинор (биспинор):

ga=g⁰, g¹, g², g³Дирака матрицы.

При преобразованиях переменных из общей группы Лоренца Пуанкаре х'^a=L (х ^a )(см. [2]) биспинор y преобразуется по формуле y'(x')=S(L)y(x), где S(L)неособенная комплексная матрица размерности S-матрицы образуют специальное двузначное представление группы L. Д. у. относительно новых переменных y'( х'^a )не изменяет своего вида (релятивистская инвариантность):

Случай m=0 дает уравнение Вейля, описывающее нейтрино. При этом Д. у. разбивается на два независимых уравнения для спинорных функций (спиноров Ван дер Вардена) j=(y1, y2 )и c⁼(y3, y4)Каждое из них будет не инвариантным относительно отражений (теория с несохраненпем четности).

Любое решение Д. у. удовлетворяет Клейна Гордона уравнению, описывающему бесспиновые скалярные частицы

но не всякое решение этого уравнения удовлетворяет Д. у., к-рое получается факторизацией уравнения Клейна Гордона.

Из Д. у. следует факт наличия у электрона собственного механического спинового момента Д. у. полностью описывает движение атомных электронов в поле ядра и в других электромагнитных полях, а также взаимодействие электрона с известными элементарными частицами.

Любое релятивистски инвариантное уравнение можно представить в форме Д. у.:

где Г ^aобобщение g^a. Для уравнения Клейна Гордона функция yимеет 5 компонент, а Г ^a4 пятирядные матрицы, удовлетворяющие соотношениям

(Дуффина Кеммера матрицы).

Подобно тому как взаимодействие фермионов с электромагнитным полем учитывается в Д. у. заменой производной д/дх ^а на компенсирующую производную д/дх^a-iAa(Aa-4-потенциал электромагнитного поля), учет взаимодействия фермионов с гравитационным полем в соответствии с общей теорией относительности приводит к обобщению Д. у. на риманово пространство введением соответствующей компенсирующей (ковариантной) производной (см. [3]):

где С aспинорные коэффициенты связности, определенные сначала с помощью тетрадного формализма, удовлетворяющие соотношениям

символы Кристоффеля. Общерелятивистское обобщение Д. у. необходимо при исследовании гравитационного коллапса, при описании предсказываемого эффекта рождения частиц в сильных гравитационных полях и др.

В пространстве с кручением в Д. у. возникает нелинейный добавок кубического типа (см. [4]) и оно переходит в нелинейное уравнение

где g=ig5, l²=3pGh/c³, Gгравитационная постоянная.

Уравнение установлено П. Дираком (P. Dirac, 1928).

Лит.:[1] Дирак П. А. М., Принципы квантовой механики, пер. с англ., М., 1960; [2] Боголюбова Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 2 изд., М., 1976; [3] Новейшие проблемы гравитации, пер. с англ., М., 1961; [4] Родичев В. И., "Ж. эксперим. и теор. физ.", 1969, т. 40.

В. Г. Кречет.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985