Математическая энциклопедия - факторный анализ

раздел многомерного статистич. анализа, объединяющий математико-статистич. методы снижения размерности исследуемого многомерного признака x= (x1, х 2, . . ., x р)', т. е.-построения,на основе исследования структуры связей между компонентами xixj, i, j=1,2, . . ., р,таких моделей, к-рые позволяли бы восстанавливать (с нек-рой случайной ошибкой прогноза значения ранализируемых компонент признака хпо существенно меньшему числу так наз. общих (непосредственно не наблюдаемых) факторов f=(f1, f2, . . ., f т)'.

Простейшим вариантом формализации подобной постановки задачи служит линейная нормальная модель Ф. а, с взаимно ортогональными общими факторами и с некоррелированными остатками:

или в матричной записи

где -матрица qкоэффициентов линейного преобразования наз. матрицей нагрузок общих факторов на исследуемые переменные.

Предполагается, что вектор специфич. остатков (ошибок прогнозов) подчиняется р-мерному нормальному распределению с нулевым вектором средних значений и с неизвестной диагональной ковариационной матрицей вектор общих факторов f, в зависимости от специфики решаемой задачи, может интерпретироваться либо как m-мерная случайная величина с ковариационной матрицей Vf специального вида, а именно с единичной (т. е. Vf=Im), либо как вектор неизвестных неслучайных параметров (взаимно ортогональных и нормированных), значения к-рых меняются от наблюдения к наблюдению.

Если предположить, что наши переменные заранее процентрированы (т. е. то из (1') с учетом принятых допущений немедленно получается следующее соотношение, связывающее ковариационные матрицы векторов xи и матрицу нагрузок:

При проведении реального статистич. анализа исследователь располагает лишь оценками элементов ковариационной матрицы Vx (полученными по наблюдениям x1, х 2, ..., xn), в то время как структурные параметры модели элементы qki матрицы нагрузок . и дисперсии специфич. остатков являются неизвестными и подлежат определению.

Таким образом, при проведении Ф. 1 ни структурные параметры, ни сами факторы не определяются однозначно; если пара является решением в соотношении (2), то и любая другая пара вида где сортогональная матрица размера тоже будет удовлетворять соотношению (2); обычно выясняют, при каких дополнительных априорных ограничениях на матрицу нагрузок qи на ковариационную матрицу остатков определение параметров q, f и анализируемой модели будет единственным; возможность ортогонального вращения решения факторной модели используется также для получения наиболее естественно интерпретируемого решения;

статистич. оценивания (по наблюдениям x1, x2,... ,x п) неизвестных структурных параметров модели qи

статистич. проверки ряда гипотез, связанных с природой модели (линейность, нелинейность и т. п.) и со значениями ее структурных параметров таких, как гипотеза об истинном числе общих факторов, гипотеза адекватности принятой модели по отношению к имеющимся результатам наблюдения, гипотеза о статистически значимом отличии от нуля коэффициентов qij и т. п.;

построения статистич. оценок для ненаблюдаемых значений общих факторов f; алгоритмически вычислительной реализации процедур статистич. оценивания и статистич. проверки гипотез.

Разработка теоретически обоснованных решений перечисленных задач в достаточно полной мере осуществлена лишь в рамках описанной выше линейной нормальной модели Ф. а.

Однако в практич. применениях широко используются более общие версии моделей Ф. а.: нелинейные, построенные на неколичестненных переменных, оперирующие с трехмерными матрицами исходных данных (к двум традиционным измерениям исходных данных размерности ри числу наблюдений п,присоединяется еще одна, пространственная или временная, координата). Подобные модели не сопровождаются, как правило, сколько-нибудь убедительным матема-тико-статистич. анализом их свойств, но основаны на вычислительных рекомендациях эвристич. или полуэвристич. характера.

Лит.:[1] Xатман Г., Современный факторный анализ, пер. с англ., М., 1972; [2] Айвазян С. А., Бежаева 3. И., Староверов О. В., Классификации многомерных наблюдений, М., 1974; [3] Sреаrman С., лAmer. J. Psychol.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985